נוסחת ציאולקובסקי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

נוסחת ציאולקובסקי היא משוואה שפותחה על ידי מדען הטילים הרוסי קונסטנטין ציאולקובסקי, ופורסמה בשנת 1903. הנוסחה מבטאת את מהירותו הסופית של טיל כפונקציה של גורמים שונים. הנוסחה המלאה נראית כך:

v_f\ =v_0 + v_{e} \ln \frac {m_0} {m_f}

כאשר \ v_0 היא המהירות ההתחלתית של הטיל, \ v_e היא מהירות הגזים הנפלטים מהטיל, \ m_0 פירושו המסה ההתחלתית של הטיל, ו-\ m_f פירושו המסה הסופית שלו. הנוסחה ונגזרותיה מאפשרים לחשב מהי כמות הדלק הנדרשת לטיל על מנת להשיג מהירות מסוימת - ובעצם מאפשרת לדעת מה נדרש לטיל על מנת לעבור בין גרמי שמים כאשר מתעלמים מהשפעת כוח המשיכה.

פיתוח ניוטוני[עריכת קוד מקור | עריכה]

המהירות של גוף היא האינטגרל של התאוצה:

v_f\ =v_0 + \int_{0}^{t_f} a(t)\, dt

לפי החוק השני של ניוטון:

F\ = m(t)\cdot a(t)

לכן:

a(t) = \frac{F}{m(t)}

וידוע לפי חוקי ניוטון ש:

{dp \over dt}= F

נציב בנוסחה:

a(t) = \frac{{dp \over dt}}{m(t)}

המתקף של גוף הוא השינוי בתנע:

dp = m(v_2 - v_1)

אם מדובר על הדלק שנפלט מהטיל אז v_1 שווה לאפס כי הוא לפני שהוא נפלט היה לו את מהירות הטיל:

v_1 = 0

v_2 הוא מהירות פליטת הדלק, נסמן:

v_2 = v_e

dm זה דיפרנציאל המסה של הדלק שנפלט.

נציב:

dp = dm\cdot v_e

נציב בנוסחה של התאוצה:

a(t) = v_e\cdot \frac{{dm \over dt}}{m(t)}

m(t) = m_0 - ({dm \over dt})\cdot t_f

כאשר {dm \over dt} זהו קצב הפליטה של הדלק.

נציב בנוסחה של התאוצה:

a(t) = v_e\cdot \frac{{dm \over dt}}{m_0 - ({dm \over dt})\cdot t_f}

לפי הנוסחה:

\int_{}^{} \frac {k}{l - kx}\, dt = -\ln(l - kx) + C

אם k = {dm\over dt}

ואם l = m_0

אז \int_{0}^{t_f} a(t)\, dt = v_e\cdot\int_{0}^{t_f} \frac{{dm \over dt}}{m_0 - ({dm \over dt})\cdot t_f}\, dt = v_e\cdot [\ln(m_0) - \ln(m(t))]

זאת אומרת:

v_e\cdot [\ln(m_0) - \ln(m(t))] = v_e\cdot \ln \frac {m_0} {m_f}

לכן:

v_f\ =v_0 + v_{e} \ln \frac {m_0} {m_f}

רקע היסטורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואות ההנעה הרקטית פורסמו על ידי ציולקובסקי בשנת 1903, ובמשך שנים נחשב ציולקובסקי לראשון שהגה אותן. עם זאת, מחקר מהעת האחרונה גילה חישובים דומים שנערכו בבריטניה בשנת 1813, לשם בחינת היעילות של רקטות קרקע קרקע ששימשו למטרות לחימה. משוואות אלה הופיעו בחיבור מאת ויליאם מור, שנקרא A Treatise on the Motion of Rockets .

שימוש בנוסחה לטילים בעלי שלבים אחדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ציולקובסקי הניח בעבודתו את הייסוד לבניית טילים בעלי מספר שלבים. בטילים כאלה, נושר שלב לאחר גמר הדלק שהיה בו, והטיל יכול להמשיך ולהאיץ, עד להשגת המהירות הנדרשת לשם הגעה לחלל או ליציאה משדה הכבידה של גרמי שמיים שונים.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]