נוסחת קרמר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, נוסחת קרמר (או כלל קרמר) היא נוסחה מפורשת לפתרון מערכת משוואות לינאריות בעזרת דטרמיננטות. היא קרויה על שם המתמטיקאי השווייצרי גבריאל קרמר.

מבחינה חישובית הנוסחה אינה יעילה, אך יש לה חשיבות כיוון שהיא נותנת ביטוי חד-משמעי של פתרון המערכת, מה שגם מאפשר להוכיח תכונות של מטריצות ודטרמיננטות. כך למשל הנוסחה מספקת ביטוי מפורש לאיבר הכללי של מטריצה הפוכה, באופן שנובע ממנו כי מטריצה היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מ-0.

נוסחת קרמר[עריכת קוד מקור | עריכה]

כידוע מאלגברה לינארית, למערכת משוואות ריבועית (כלומר, מספר המשתנים שווה למספר המשוואות) המיוצגת על ידי  \ A x=b, כאשר \ A היא מטריצה ריבועית, ו-\ b הוא וקטור עמודה, קיים פתרון יחיד אם ורק אם  \ \det A \ne 0 .

על פי נוסחת קרמר, הרכיב ה-\ k של וקטור הפתרון \ x נתון על ידי

\ x_k=\frac{\det A_k}{\det A}

כאשר  \ A_k היא המטריצה המתקבלת על ידי החלפת העמודה ה-\ k שבמטריצה \ A בווקטור \ b.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתונה המערכת

 
\begin{align}
\begin{cases}
    x + 2y +  3z &= 2 \\
    4x +5y  +6z &=2 \\
   7x + 8y + 8z &=4 
\end{cases}
\end{align}

כלומר המערכת מיוצגת על ידי המטריצה A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 8 \end{pmatrix}, והווקטור  b=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 4 \end{pmatrix} .

נחשב את הדטרמיננטות:

\det A =\det\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 8 \end{pmatrix}=3

  \ \det A_1=\det\begin{pmatrix}{\color{red}2} & 2 & 3 \\ {\color{red}2} & 5 & 6 \\ {\color{red}4} & 8 & 8 \end{pmatrix}=-12

\det A_2 =\det\begin{pmatrix}1 & {\color{red}2} & 3 \\ 4 & {\color{red}2} & 6 \\ 7 & {\color{red}4} & 8 \end{pmatrix}=18

\det A_3 =\det\begin{pmatrix}1 & 2 & {\color{red}2} \\ 4 & 5 & {\color{red}2} \\ 7 & 8 & {\color{red}4} \end{pmatrix}=-6

והפתרון נתון על ידי  \begin{array}{lclcl} x & = & \frac{-12}{3} & = & -4 \\

y & = & \frac{18}{3} & = & 6 \\

z & = & \frac{-6}{3} & = & -2 \end{array}

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה בעזרת התכונות של פונקציית נפח[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי נתונה המערכת \ Ax=b . נסמן את עמודות המטריצה ב \ \alpha_1, \dots, \alpha_n. הטענה כי הווקטור  \ (x_1,\dots,x_n) פותר את המערכת היא בעצם הטענה כי

\ x_1 \alpha_1+\dots +x_n \alpha_n=\sum_{i=1}^{n} x_i \alpha_i =b

נחשוב על הדטרמיננטה כעל פונקציית נפח, המקבלת כארגומנטים את עמודות המטריצה: \ \det A = \det(\alpha_1,\dots,\alpha_n)

הדטרמיננטה  \ \det A_k מתקבלת מהחלפת העמודה ה-k בעמודה b. כלומר:

\ \det A_k=\det (\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},b,\alpha_{k+1}\dots,\alpha_n) = \det (\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\sum x_i \alpha_i,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n)

מכיוון שהדטרמיננטה, כפונקציית נפח, היא לינארית בכל רכיב, מתקבל

\ \det A_k=\sum_1^n x_i \det(\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\alpha_i,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n)

ומתכונת פונקציית הנפח, לכל   i\ne k מתקיים כי  \  \det(\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\alpha_i,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n)=0 ולכן נותרנו עם

\ \det A_k=x_k \det (\alpha_1,\dots,\alpha_{k-1},\alpha_k,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n)=x_k\det A

ולכן \ x_k =\frac{\det A_k}{\det A}.

הוכחה בעזרת הרחבת המטריצה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי נתונה מערכת לא הומוגנית:


\begin{pmatrix}
a_{11} & \dots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} &  \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
\vdots\\
x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
b_1 \\
\vdots\\
b_n \end{pmatrix}

כאשר \ (x_1, \dots, x_n) הוא וקטור הפתרון (היחיד) של המערכת. לחישוב האיבר ה-\ k של \ x, נוסיף למערכת משוואה אחת, כך:


\begin{pmatrix}
a_{11} & \dots & \dots & \dots  & a_{1n} & b_1 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & \dots & \dots &   \dots & a_{nn} & b_n \\
0 &  \dots & 1 &  \dots &  0  & x_k 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
\vdots\\
x_n\\ 
-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\
\vdots \\
\vdots\\
0 \end{pmatrix}

כאשר בשורה התחתונה במטריצה כל האברים הם אפס, פרט לעמודה ה-\ k ולעמודה ה-\ n+1. מכיוון שהווקטור \ x פותר את המערכת, קל לראות על ידי העברת אגפים כי הווקטור המורחב  \ (x_1, x_2, \dots , x_n, -1) פותר את המערכת המורחבת, שהיא כעת מערכת הומוגנית. טענה מאלגברה לינארית אומרת כי למערכת משוואות הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם הדטרמיננטה מתאפסת. הווקטור המורחב אינו וקטור האפס והוא פותר את המערכת, ולכן הדטרמיננטה של המטריצה המורחבת חייבת להתאפס. נפתח את הדטרמיננטה לפי השורה התחתונה, ונשים לב כי המינור ה-\ k הוא פשוט הדטרמיננטה של המטריצה \ A_k מוכפל בגורם \ (-1) ^{n-k}, מכיוון שכדי להביא את העמודה האחרונה למקום ה-\ k יש לבצע על העמודות תמורה שהיא מחזור באורך \ n-k+1. בנוסף, מהנוסחה לפיתוח המינור יש להכפיל בגורם \ (-1)^{n+1+k} ולכן מתקבל:

\ (-1)^{n+1+k+n-k}\det A_k + (-1)^{n+1+n+1}x_k\det A = x_k\det A-\det A_k =0

כלומר, \ x_k =\frac{\det A_k}{\det A}