נוסחת קרמר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה לינארית, נוסחת קרמר (או כלל קרמר) היא נוסחה מפורשת לפתרון מערכת משוואות לינאריות בעזרת דטרמיננטות. היא קרויה על שם המתמטיקאי השווייצרי גבריאל קרמר.

מבחינה חישובית הנוסחה אינה יעילה, אך יש לה חשיבות כיוון שהיא נותנת ביטוי מפורש של פתרון המערכת.

תוכן עניינים

1 נוסחת קרמר
2 דוגמה
3 הוכחה
- 3.1 הוכחה בעזרת התכונות של פונקציית נפח
- 3.2 הוכחה בעזרת הרחבת המטריצה

[עריכה] נוסחת קרמר

כידוע מאלגברה לינארית, למערכת משוואות ריבועית (כלומר, מספר המשתנים שווה למספר המשוואות) המיוצגת על ידי $\ A x=b$ , כאשר $\ A$ היא מטריצה ריבועית, ו- $\ b$ הוא וקטור עמודה, קיים פתרון יחיד אם ורק אם $\ \det A \ne 0$ .

על פי נוסחת קרמר, הרכיב ה- $\ k$ של וקטור הפתרון $\ x$ נתון על ידי

$\ x_k=\frac{\det A_k}{\det A}$

כאשר $\ A_k$ היא המטריצה המתקבלת על ידי החלפת הווקטור $\ b$ במקום העמודה ה- $\ k$ במטריצה $\ A$ .

[עריכה] דוגמה

נתונה המערכת

$\begin{cases} x + 2y + 3z = 2 \\ 4x +5y +6z=2 \\ 7x + 8y + 8z=4 \end{cases}$

כלומר המערכת מיוצגת על ידי המטריצה $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 8 \end{pmatrix}$ , והווקטור $b=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 4 \end{pmatrix}$ .

נחשב את הדטרמיננטות:

$\det A =\det\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 8 \end{pmatrix}=3$

$\ \det A_1=\det\begin{pmatrix}{\color{red}2} & 2 & 3 \\ {\color{red}2} & 5 & 6 \\ {\color{red}4} & 8 & 8 \end{pmatrix}=-12$

$\det A_2 =\det\begin{pmatrix}1 & {\color{red}2} & 3 \\ 4 & {\color{red}2} & 6 \\ 7 & {\color{red}4} & 8 \end{pmatrix}=18$

$\det A_3 =\det\begin{pmatrix}1 & 2 & {\color{red}2} \\ 4 & 5 & {\color{red}2} \\ 7 & 8 & {\color{red}4} \end{pmatrix}=-6$

והפתרון נתון על ידי $\begin{array}{lcr} x & = \frac{-12}{3} & =-4 \\ y & = \frac{18}{3} & = 6 \\ z & = \frac{-6}{3} & = -2 \end{array}$

[עריכה] הוכחה

[עריכה] הוכחה בעזרת התכונות של פונקציית נפח

נניח כי נתונה המערכת $\ Ax=b$ . נסמן את עמודות המטריצה ב $\ \alpha_1, \dots, \alpha_n$ . הטענה כי הווקטור $\ (x_1,\dots,x_n)$ פותר את המערכת היא בעצם הטענה כי

$\ x_1 \alpha_1+\dots +x_n \alpha_n=\sum_{i=1}^{n} x_i \alpha_i =b$

נחשוב על הדטרמיננטה כעל פונקציית נפח, המקבלת כארגומנטים את עמודות המטריצה: $\ \det A = \det(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$

הדטרמיננטה $\ \det A_k$ מתקבלת מהחלפת העמודה ה-k בעמודה b. כלומר:

$\ \det A_k=\det (\alpha_1,\dots,b,\dots,\alpha_n) = \det (\alpha_1,\dots,\sum x_i \alpha_i,\dots,\alpha_n)$

מכיוון שהדטרמיננטה, כפונקציית נפח, היא לינארית בכל רכיב, מתקבל

$\ \det A_k=\sum_1^n x_i \det(\alpha_1,\dots,\alpha_i,\dots,\alpha_n)$

ומתכונת פונקציית הנפח, לכל $i\ne k$ מתקיים כי $\ \det(\alpha_1,\dots,\alpha_i,\dots,\alpha_n)=0$ ולכן נותרנו עם

$\ \det A_k=x_k \det (\alpha_1,\dots, \alpha_k,\dots,\alpha_n)=x_k\det A$

ולכן $x_k =\frac{\det A_k}{\det A}$ .

[עריכה] הוכחה בעזרת הרחבת המטריצה

נניח כי נתונה מערכת לא הומוגנית:

$\begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}$

כאשר $\ (x_1, \dots, x_n)$ הוא וקטור הפתרון (היחיד) של המערכת. לחישוב האיבר ה- $\ k$ של $\ x$ , נוסיף למערכת משוואה אחת, כך:

$\begin{pmatrix} a_{11} & \dots & \dots & \dots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & \dots & \dots & a_{nn} & b_n \\ 0 & \dots & 1 & \dots & 0 & x_k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots\\ x_n\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}$

כאשר בשורה התחתונה במטריצה כל האברים הם אפס, פרט לעמודה ה- $\ k$ ולעמודה ה- $\ n+1$ . מכיוון שהווקטור $\ x$ פותר את המערכת, קל לראות על ידי העברת אגפים כי הווקטור המורחב $\ (x_1, x_2, \dots , x_n, -1)$ פותר את המערכת המורחבת, שהיא כעת מערכת הומוגנית. מאלגברה לינארית אנו יודעים כי למערכת משוואות הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם הדטרמיננטה מתאפסת. הווקטור המורחב אינו וקטור האפס והוא פותר את המערכת, ולכן הדטרמיננטה של המטריצה המורחבת חייבת להתאפס. נפתח את הדטרמיננטה לפי השורה התחתונה, ונשים לב כי המינור ה- $\ k$ הוא פשוט הדטרמיננטה של המטריצה $\ A_k$ מוכפל בגורם $\ (-1) ^{n-k}$ , מכיוון שכדי להביא את העמודה האחרונה למקום ה- $\ k$ יש לבצע על העמודות תמורה שהיא מחזור באורך $\ n-k+1$ . בנוסף, מהנוסחה לפיתוח המינור יש להכפיל בגורם $\ (-1)^{n+1+k}$ ולכן מתקבל: