נורמה (אלגברה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה מופשטת, הנורמה של אלגברה A מעל שדה F היא פונקציה כפלית מסוימת, המוגדרת בעזרת הפולינום האופייני של איברים באלגברה. בין הדוגמאות המוכרות ביותר: הפונקציה \ N(x+yi) = x^2+y^2, שהיא הנורמה של מספרים מרוכבים בהרחבה \ \mathbb{C}/\mathbb{R} של המרוכבים מעל הממשיים, והדטרמיננטה, שהיא הנורמה עבור אלגברת המטריצות מעל שדה הבסיס.

בניגוד לנורמה האנליטית, הנורמה האלגברית יכולה במקרים רבים לקבל את הערך 0 גם באיברים שאינם 0.

הגדרה כללית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם A אלגברה מממד סופי מעל שדה F, אפשר לבחור לה בסיס \ b_1,\dots,b_n, ולהתבונן באיבר \ X = x_1 b_1 + \cdots +x_n b_n של האלגברה \ A \otimes_F F(x_1,\dots,x_n) המתקבלת מהרחבת סקלרים מ- F לשדה הפונקציות \ F(x_1,\dots,x_n). ל- X יש פולינום מינימלי מתוקן הנקרא הפולינום המינימלי הגנרי של A, והמעלה שלו, m, היא הדרגה של האלגברה. המקדם האחרון של הפולינום המינימלי, שהוא פולינום הומוגני \ (-1)^{m-1}N ממעלה m במקדמים \ x_1,\dots,x_n, הוא הנורמה של אברים מ-A. הנורמה מקיימת את התנאי \ N(xy)=N(x)N(y), ואם \ \alpha \in F אז \ N(\alpha) = \alpha^m.

אם מעלת הפולינום המינימלי של איבר שווה לדרגה (וזה כך "כמעט לכל איבר" - ראו טופולוגיית זריצקי), אז אפשר לקרוא את הנורמה מתוך המקדם החופשי של הפולינום המינימלי עצמו (ללא צורך בבניית הפולינום הגנרי). הנורמה של כל מחלק אפס היא אפס.

הנורמה בתורת גלואה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ K/F הרחבת גלואה של שדות, אפשר לראות ב-K אלגברה מעל השדה F, ולהגדיר עבורו נורמה על-פי ההגדרה הכללית לעיל. נסמן ב- \ \{\sigma_1,\dots,\sigma_n\} את האיברים בחבורת גלואה של ההרחבה (כאשר n שווה לממד ההרחבה). כל איבר \ a\in K מאפס את הפולינום \ f(\lambda) = (\lambda-\sigma_1(a)) \cdots (\lambda - \sigma_n(a)), שמקדמיו שייכים לשדה השֶ‏בת F, ופולינום זה (עבור a גנרי) הוא הפולינום המינימלי הגנרי של K. מכאן מתקבלת הנוסחה: \ N_{K/F}(a) = \sigma_1(a)\cdots \sigma_n(a) .

לדוגמה, אם \ K=F[\sqrt{d}], אז האוטומורפיזם הלא-טריוויאלי מוגדר לפי הנוסחה \ \sigma(a+b\sqrt{d})=a-b\sqrt{d}, ואז הנורמה היא \ N(a+b\sqrt{d}) = a^2 - d b^2.

את הנוסחה הזו אפשר להכליל לכל מקרה שבו ההרחבה \ K/F ספרבילית, משום שאז קיים "סגור גלואה" \ K \subseteq E, היינו שדה E המהווה הרחבת גלואה של F. במקרה זה אפשר לבחור אוטומורפיזמים \ \sigma_1,\dots,\sigma_n של E המשרים פעולות שונות על K, ולהגדיר את הנורמה באותה צורה.

הנורמה של הרחבות ספרביליות היא טרנזיטיבית, כלומר, אם \ F \subseteq L \subseteq K, אז \ N_{L/F} \circ N_{K/L} = N_{K/F}.

הנורמה בתורת המספרים האלגבריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר להגדיר נורמה של אידאלים בתחום שלמות D, לפי גודלו של חוג המנה \ N(I)=|D/I|. ההגדרה שימושית בעיקר בחוגים שכל המנות שלהם סופיות. ההגדרה מכלילה את הערך המוחלט המקובל במספרים שלמים, משום שהנורמה של האידאל \ n \mathbb{Z} בחוג המספרים השלמים היא \ |\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}| = n. עבור אידאלים ראשיים הנוסחה כפלית בכל תחום שלמות: \ |D/Dab|=|D/Da|\cdot |D/Db|.

אם \ D={\mathcal O}_K הוא חוג השלמים של שדה מספרים K, אז הנורמה היא פונקציה כפלית לכל האידאלים, כלומר, \ N(IJ)=N(I)N(J). יתרה מזו, הנורמה מכלילה את זו של אברים שלמים ב-K: \ N(a{\mathcal O}_K) = N_{K/F}(a). אם \ \mathfrak{P} הוא אידאל ראשוני של חוג השלמים, ומתקיים \ \mathbb{Z} \cap \mathfrak{P} = p\mathbb{Z} עבור ראשוני שלם p, אז \ N(\mathfrak P)=p^f, כאשר f הוא "מקדם המימד" של \ \mathfrak P (השווה למימד של \ \mathcal{O}_K/{\mathfrak P} מכל \ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]