סדרה חשבונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע: $\ a_{n+1}-a_n=d$
דוגמה: בסדרה 3, 5, 7, 9, 11, ... (מימין לשמאל) ההפרש הקבוע בין כל שני איברים עוקבים הוא 2.

סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:

האיבר הראשון בסדרה
ההפרש הקבוע בין שני איברים עוקבים בסדרה
מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי).

לפי מאפיינים אלה ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה. אם $a 1$ הוא האיבר הראשון ו־d הוא ההפרש, האיבר ה־n נתון על ידי: $a_n=a_1+(n-1) \cdot d$ . הוכחה לנוסחת האיבר הכללי:

$\ a_2-a_1+a_3-a_2+a_4-a_3+a_5-a_4+...+a_{n-1}-a_{n-2}+a_n-a_{n-1}=d(n-1)$

$\ -a_1+a_n=d(n-1)$

$\ a_n=a_1+d(n-1)$

כמו כן, ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה־n (כולל) לפי הנוסחה:

$\ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}=\frac{n\left[2a_n-(n-1)d\right]}{2}$

בסדרה חשבונית כל איבר מהווה ממוצע חשבוני של האיבר הקודם והעוקב:
$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ ומכאן שמה (בדומה לסדרה הנדסית ולסדרה הרמונית).

הוכחה לנוסחת הסכום:

את הסכום של n האיברים הראשונים בסדרה ניתן לרשום בשני אופנים: $S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+\dots\dots+a_1+(n-2)d+a_1+(n-1)d$ $S_n=a_n-(n-1)d+a_n-(n-2)d+\dots\dots+a_n-2d+a_n-d+a_n$