סדרה חשבונית

במתמטיקה, סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע: $\ a_{n+1}-a_n=d$
דוגמה: בסדרה 3, 5, 7, 9, 11, ... (מימין לשמאל) ההפרש הקבוע בין כל שני איברים עוקבים הוא 2.

סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:

• האיבר הראשון בסדרה
• ההפרש הקבוע בין שני איברים עוקבים בסדרה
• מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי).

לפי מאפיינים אלה ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה.

נוסחאות

נוסחה לאיבר הכללי

אם $a_1$ הוא האיבר הראשון ו־d הוא ההפרש, האיבר ה־n נתון על ידי הנוסחה: $a_n=a_1+(n-1) \cdot d$.

הוכחה לנוסחת האיבר הכללי:

$\ a_2-a_1+a_3-a_2+a_4-a_3+a_5-a_4+...+a_{n-1}-a_{n-2}+a_n-a_{n-1}=d(n-1)$

$\ -a_1+a_n=d(n-1)$

$\ a_n=a_1+d(n-1)$

נוסחה לסכום הסדרה

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה־n (כולל) לפי הנוסחה:

$\ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}=\frac{n\left[2a_n-(n-1)d\right]}{2}$

בסדרה חשבונית כל איבר מהווה ממוצע חשבוני של האיבר הקודם והעוקב:
$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ ומכאן שמה (בדומה לסדרה הנדסית ולסדרה הרמונית).

הוכחה לנוסחת הסכום:

את הסכום של n האיברים הראשונים בסדרה ניתן לרשום בשני אופנים: $S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+\dots\dots+a_1+(n-2)d+a_1+(n-1)d$ $S_n=a_n-(n-1)d+a_n-(n-2)d+\dots\dots+a_n-2d+a_n-d+a_n$

נחבר בהתאמה את האגפים של שני שוויונות אלה, ולאחר שאיברים שווי ערך אך שוני סימן יבטלו זה את זה נקבל:

$\ 2S_n=n(a_1+a_n)$

ולכן:

$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

נוסחאות נוספות

נוסחה לחישוב הפרש בין סכום האיברים הזוגיים לבין האיברים האי זוגיים: $S_\frac{n}{2}(even)-S_\frac{n}{2}(odd)=\frac{nd}{2}$

הוכחת הנוסחה:

נתונה סדרה:$\ a_1,a_2,a_3,....a_{2n}$ כאשר מס' האיברים הוא זוגי והאיבר האחרון הוא 2n. נחשב את סכום האיברים הזוגיים והאי זוגיים על פי נוסחת הסכום. מכיוון שמס' האיברים הוא זוגי אז מס' האיברים שמקומם זוגי שווה למס' האיברים שמקומם אי זוגי ומכיוון שמס' האיברים הכולל הוא 2n אז ישנם n איברים שמקומם זוגי וn איברים שמקומם אי זוגי. סכום האיברים הזוגיים: $\ S_n(even)=\frac{n(2a_2+(n-1)2d)}{2}$

$\ a_2$ הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית ומכיוון שהפרש הסדרה הוא $\ d$ אז ההפרש בין כל שני איברים שמקומם זוגי הוא $\ 2d$

נציב $\ a_2=a_1+d$ במשוואה המקורית ונחשב. בסוף נקבל:$\ S_n(even)=na_1+n^2d$

נעשה כך גם עם הסדרה האי זוגית ונקבל $\ S_n(odd)=na_1+n^2d-nd$

נחסר את המשוואה הזוגית מן המשוואה האי זוגית ונקבל: $\ S_n(even)-S_n(odd)=nd$ מכיוון שמס' האיברים המקורי שלנו הוא $\ 2n$ נחלק את ה$\ n$ במשוואה שהתקבלה בשתיים.
לבסוף נקבל: $S_\frac{n}{2}(even)-S_\frac{n}{2}(odd)=\frac{nd}{2}$

דוגמאות

הדגמה ציורית של הנוסחה הראשונה

• הסכום של הסדרה 1, 3, 5, ... בעלת $n$ איברים הוא $\ n^2$.
• הסכום של הסדרה 2, 4, 6, ... בעלת $n$ איברים הוא $\ n(n+1)$.

ראו גם

• סדרה הנדסית
• טור (מתמטיקה)
• אינדוקציה מתמטית

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: סדרות חשבוניות

• סיכום על סדרות חשבוניות, מתוך סיכומונה