סדרה חשבונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע: \ a_{n+1}-a_n=d
דוגמה: בסדרה 3, 5, 7, 9, 11, ... (מימין לשמאל) ההפרש הקבוע בין כל שני איברים עוקבים הוא 2.

סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:

  • האיבר הראשון בסדרה.
  • ההפרש הקבוע בין שני איברים עוקבים בסדרה.
  • מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי).

לפי מאפיינים אלה ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה.

נוסחאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסחה לאיבר הכללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם a_1 הוא האיבר הראשון, ו־d הוא ההפרש, האיבר ה־n נתון על ידי הנוסחה: a_n=a_1+(n-1) \cdot d.

הוכחה לנוסחת האיבר הכללי:

\ a_2-a_1+a_3-a_2+a_4-a_3+a_5-a_4+...+a_{n-1}-a_{n-2}+a_n-a_{n-1}=d(n-1)

\ -a_1+a_n=d(n-1)

\ a_n=a_1+d(n-1)

נוסחה לסכום הסדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה־n (כולל) לפי הנוסחה:

\ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}=\frac{n\left[2a_n-(n-1)d\right]}{2}

בסדרה חשבונית כל איבר מהווה ממוצע חשבוני של האיבר הקודם והעוקב:
 a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2 ומכאן שמה (בדומה לסדרה הנדסית ולסדרה הרמונית).

הוכחה לנוסחת הסכום:

את הסכום של n האיברים הראשונים בסדרה ניתן לרשום בשני אופנים:  S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+\dots\dots+a_1+(n-2)d+a_1+(n-1)d  S_n=a_n-(n-1)d+a_n-(n-2)d+\dots\dots+a_n-2d+a_n-d+a_n

נחבר בהתאמה את האגפים של שני שוויונות אלה, ולאחר שאיברים שווי ערך אך שוני סימן יבטלו זה את זה נקבל:

\ 2S_n=n(a_1+a_n)

ולכן:

 S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}

נוסחאות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסחה לחישוב הפרש בין סכום האיברים הזוגיים לבין האיברים האי זוגיים: S_\frac{n}{2}(even)-S_\frac{n}{2}(odd)=\frac{nd}{2}

הוכחת הנוסחה:

נתונה סדרה: \ a_1,a_2,a_3,....a_{2n} כאשר מספר האיברים הוא זוגי והאיבר האחרון הוא 2n. נחשב את סכום האיברים הזוגיים והאי זוגיים על פי נוסחת הסכום. מכיוון שמספר האיברים הוא זוגי אז מספר האיברים שמקומם זוגי שווה למספר האיברים שמקומם אי זוגי ומכיוון שמספר האיברים הכולל הוא 2n אז ישנם n איברים שמקומם זוגי וn איברים שמקומם אי זוגי. סכום האיברים הזוגיים: \ S_n(even)=\frac{n(2a_2+(n-1)2d)}{2}

\ a_2 הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית, ומכיוון שהפרש הסדרה הוא \ d אז ההפרש בין כל שני איברים שמקומם זוגי הוא \ 2d

נציב \ a_2=a_1+d במשוואה המקורית ונחשב. בסוף נקבל: \ S_n(even)=na_1+n^2d

נעשה כך גם עם הסדרה האי זוגית ונקבל: \ S_n(odd)=na_1+n^2d-nd

נחסר את המשוואה הזוגית מן המשוואה האי זוגית ונקבל: \ S_n(even)-S_n(odd)=nd מכיוון שמספר האיברים המקורי שלנו הוא \ 2n נחלק את ה־\ n במשוואה שהתקבלה בשתיים.
לבסוף נקבל: S_\frac{n}{2}(even)-S_\frac{n}{2}(odd)=\frac{nd}{2}

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדגמה ציורית של הנוסחה הראשונה
  • הסכום של הסדרה 1, 3, 5, ... בעלת n איברים הוא \ n^2.
  • הסכום של הסדרה 2, 4, 6, ... בעלת n איברים הוא \ n(n+1).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]