סדרה נורמלית

סדרה נורמלית של חבורה $\ G$ היא שרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של קודמתה.

$\ G=G_0\triangleright G_1\triangleright \cdots \triangleright G_k$

(הערה: יש המגדירים סידרה נורמלית של חבורה $\ G$ כשרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של $\ G$ ואז שרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של קודמתה נקראת סידרה תת-נורמלית ).

חבורת המנה $\ G_{i}/G_{i+1}$ נקראת גורם של הסדרה.

עידון של סדרה הוא סדרה ארוכה יותר, הכוללת את כל תת-החבורות של הסדרה הקודמת. אפשר לעדן סדרה נתונה אם קיימת חבורה $\ L$ שמקיימת $\ G_i\triangleright L\triangleright G_{i+1}$, $\ G_i\ne L\ne G_{i+1}$. במקרה זה הסדרה $\ G=G_0\triangleright \cdots \triangleright G_i\triangleright L\triangleright G_{i+1}\triangleright G_k$ היא עידון של הסדרה המקורית.

סדרת הרכב של חבורה $\ G$ היא סדרה נורמלית שמסתיימת ב-$\ \{e\}$ ואין לה שום עידון (לא כולל חזרות על אותה חבורה). ניתן להוכיח שסדרה נורמלית היא סדרת הרכב אם ורק אם היא נגמרת ב-$\ \{e\}$ וכל הגורמים שלה חבורות פשוטות.

החשיבות הרבה של סדרות ההרכב נעוצה בעובדה שגורמי ההרכב של כל חבורה סופית $\ G$ הם קבועים עד כדי איזומורפיזם והחלפת סדר, ואינם תלויים בסדרת ההרכב (ראו משפט ז'ורדן-הולדר).

חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרה נורמלית עם גורמים אבליים; לחבורה שאינה פתירה יש תמיד סדרת הרכב עם גורם שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.

ראו גם

• סדרה מרכזית עולה
• סדרה מרכזית יורדת