סדרת סילבסטר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

סדרת סילבסטר היא סדרה של מספרים טבעיים, המוגדרת לפי נוסחת הנסיגה \ s_i = s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1, כאשר \ s_1=2. הסדרה נקראת על שמו של המתמטיקאי היהודי בריטי ג'יימס ג'וזף סילבסטר.

בסדרה זו מתקיים שכל איבר שווה למכפלה של קודמיו בסדרה בתוספת 1, לפי היחס \ s_n = 1 + \prod_{i = 1}^{n - 1} s_i, וכך אפשר לראות שכל שני מספרים בה זרים זה לזה. תכונה זו מספקת הוכחה מיידית למשפט של אוקלידס שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים: לכל איבר בסדרה יש מחלק ראשוני, ואלו חייבים להיות שונים זה מזה.

חשיבותה העיקרית של סדרת סילבסטר בכך שמבין כל הפתרונות למשוואה הדיופנטית \ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_n}=1 בנעלמים \ 0<x_1\leq x_2 \leq \dots \leq x_n, עבור \ n טבעי כלשהו, הפתרון שבו \ x_n הוא הגדול ביותר מתקבל מ- \ n איברי סדרת סילבסטר הראשונים, לפי הנוסחה \ \frac{1}{s_1}+\dots+\frac{1}{s_{n-1}}+\frac{1}{s_n-1}=1. בפרט, למשוואה זו יש מספר סופי של פתרונות.

לדוגמה, ארבעת האיברים הראשונים של סדרת סילבסטר הם 2, 3, 7, 43, ואכן \ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{42}=1.