סטטיסטיקת גאוס-מרקוב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מודלי גאוס-מרקוב, הנקראים על שם קרל פרידריך גאוס ואנדריי מרקוב, הם מודלים סטוכסטיים הכוללים בתוכם גם מודלים גאוסיים וגם מודלי מרקוב. כל מודל גאוס-מרקוב X(t) הוא בעל התכונות הבאות:

  1. אם  h(t) פונקציה סקלרית לא מתאפסת ב-t , אז Z(t) = h(t)\cdot X(t) גם מודל גאוס-מרקוב.
  2. אם f(t) פונקציה סקלרית לא יורדת ב-t, אז \Z(t) = X(f(t)) גם מודל גאוס-מרקוב.
  3. קיימות פונקציה סקלרית לא מתאפסת h(t) ופונקציה סקלרית לא יורדת f(t) כך ש-: X(t) = W(f(t)) ו- W(t) הוא מודל וינר.

תכונה 3 גורסת כי מודל גאוס-מרקוב ניתן להרכבה על ידי מודלי וינר סטנדרטיים (SWP) קטנים יותר.

מאפיינים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מודל גאוס-מרקוב בעל שונות \textbf{E}(X^{2}(t)) = \sigma^{2} וקבוע זמן \beta^{-1} הוא בעל התכונות הבאות:

\textbf{R}_{x}(\tau) = \sigma^{2}e^{-\beta |\tau|}.\,.

צפיפות ספקטרלית:

\textbf{S}_{x}(j\omega) = \frac{2\sigma^{2}\beta}{\omega^{2} + \beta^{2}}.\,

הנוסחאות מלעמלה מניבות את הפירוק הספקטרלי:

\textbf{S}_{x}(s) = \frac{2\sigma^{2}\beta}{-s^{2} + \beta^{2}} 
                         = \frac{\sqrt{2\beta}\,\sigma}{(s + \beta)} 
                           \cdot\frac{\sqrt{2\beta}\,\sigma}{(-s + \beta)}. 
.