סימון דיראק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

סימון דיראק (או כתיב דיראק או סימון בְּרָה-קֵט) הוא הסימון הסטנדרטי לתיאור מצבים קוונטים במכניקת הקוונטים, אף על פי שאפשר להשתמש בסימון זה לציון וקטורים במרחב וקטורי מופשט ואף פונקציונלים. שמו של הסימון הוא מעין "התחכמות לשונית" של ממציאו פול דיראק: מכפלה פנימית של שני מצבים, הנקראת באנגלית "בְּרָקֵט" (bracket) ומסומנת על ידי \langle\phi|\psi\rangle מכילה למעשה חלק שמאלי \langle\phi|, אשר נקרא "בְּרָה" (bra) וחלק ימני |\psi\rangle הנקרא "קֵט" (ket).

מבוא אינטואיטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

סימון דיראק בא לתאר את הפורמליזם המתמטי של מכניקת הקוונטים בה המערכת נמצאת במצב קוונטי שהוא סופרפוזיציה של מצבים עצמיים. לכל גודל מדיד (המיוצג על ידי אופרטור הרמיטי) מתאים סט של מצבים עצמיים המייצגים את הערכים שאפשר למדוד.

סימון דיראק מסייע לחשב מה ההסתברות למדוד ערך a של אופרטור A כאשר המערכת נמצאת במצב קוונטי \ | \psi \rang. בסימון דיראק מדידה (או הטלה) מיוצגת על ידי מכפלה פנימית \ \lang a | \psi \rang כאשר ריבוע הערך המוחלט שלה נותן את ההסתברות. הערך a הוא בעצם מצב עצמי קוונטי של האופרטור A המקיים \ A | a \rang = a | a \rang (כאשר ה a מחוץ ל"קט" הוא כבר מספר סקלרי) ולמעשה מה שסימון דיראק אומר הוא שאת הסיכוי למדידת הערך a במצב \ | \psi \rang אפשר לחשב על ידי הטלת המצב \ | \psi \rang על המצב העצמי \ | a \rang. נסכם, \ \mbox{Prob} \left( A=a  \right) = \left| \lang a | \psi \rang \right| ^2

כאשר מטילים על בסיס המקום (או בסיס המרחב), המורכב ממצבים עצמיים \ | \vec{r} \rang המייצגים כל אחד מהם חלקיק שפונקציית הגל שלו מרוכזת במקום מסוים \vec{r} , נהוג לסמן \lang \vec{r} | \psi \rang = \psi(\vec{r}) ולקרוא לביטוי \ \psi(\vec{r}) פונקציית הגל של החלקיק. עוד על הצגת ברה-קט בבסיס המרחב ראו בהמשך המאמר.

ברה וקט[עריכת קוד מקור | עריכה]

במכניקת הקוונטים, המצב של מערכת פיזיקלית מזוהה על ידי וקטור במרחב הילברט מרוכב H. כל וקטור במרחב זה נקרא "קט" ונכתב בצורה: |\psi\rangle. כאשר: \psi מייצג קט מסוים.

לכל קט |\psi\rangle קיים ברה דואלי אשר מצוין על ידי \langle\psi| שהוא למעשה פונקציונאל לינארי מ-H ל-\mathbb{C} בהתאם להגדרה הקאנונית: :\langle\psi|\rho\rangle = ( |\psi\rangle , |\rho\rangle ) לכל ה"קטים" |\rho\rangle כאשר \langle\ |\ \rangle מייצג את המכפלה הפנימית המוגדרת על מרחב הילברט. סימון זה מקבל את הצדקתו בזכות משפט ההצגה של ריס, הקובע כי מרחב הילברט והמרחב הדואלי שלו איזומורפיים ואיזומטריים. לפיכך, לכל ברה מתאים קט אחד בלבד ולהפך.

למעשה, סימון דיראק יכול לשמש, באופן זהה, מרחבים וקטוריים, גם אם אלו אינם מרחבי הילברט. בכל מרחב בנך אפשר לציין את הווקטורים באמצעות ברה ואת הפונקציונלים הלינארים באמצעות קט. למעשה, מעל כל מרחב וקטורי, אשר לא מוגדרת עליו טופולוגיה, אפשר לסמן את הווקטורים והפונקציונלים הלינאריים באמצעות ברה וקט. במקרים יותר כלליים אלו של מרחבים בלי מכפלה פנימית, ל"ברקט" אין את המשמעות של מכפלה פנימית.

הצמדתו של ה"ברה" \langle\phi| ל"קט" |\psi\rangle מניבה מספר מרוכב, המסומן על ידי \langle\phi|\psi\rangle.

במכניקת הקוונטים זוכה סימון זה לפירוש כאמפליטודת ההסתברות שהמצב \psi יקרוס אל המצב \phi.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מאחר שמדובר במרחב הילברט שהוא בפרט מרחב וקטורי, המכפלה הפנימית וההצמדה ההרמיטית מקיימות את התכונות הבאות:

  • בי-לינאריות בשני משתנים:
\langle\phi| \; ( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle ) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle
(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|) \; |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2 \langle\phi_2|\psi\rangle

אופרטורים לינאריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \hat A:H\rightarrow H היא אופרטור לינארי, אנו יכולים להפעיל את האופרטור \hat A על וקטור קט \hat A|\psi\rangle. לאופרטורים לינארים חשיבות עצומה במכניקת הקוונטים. לדוגמה, לכל גודל פיזיקלי מדיד (כדוגמת אנרגיה או תנע זוויתי) מתאים אופרטור לינארי הרמיטי (כלומר: \hat A=\hat A^\dagger). הסימן \dagger נקרא "דאגר" (או בעברית צלבון) מייצג צמוד הרמיטי של אופרטור.

אופרטורים הרמיטיים יכולים לפעול גם כן על ברה, על ידי הפונקציונאל (\langle\phi|\hat A) \; |\psi\rangle = \langle\phi| \; (\hat A|\psi\rangle) ביטוי זה מסומן בדרך כלל על ידי\langle\phi|A|\psi\rangle . עבור אופרטורים לא הרמיטיים הסימונים הכלליים הם:

  1. \ \lang \phi | \hat{A} | \psi \rang = \lang \phi | \hat{A} \psi \rang
  2. \ \lang \phi | \hat{A^\dagger} | \psi \rang = \lang \hat{A} \phi |  \psi \rang

דרך נוחה אחרת להגדיר אופרטורים לינאריים על H הוא על ידי מכפלה חיצונית: עבור ברה \langle\phi| וקט |\psi\rangle נגדיר את המכפלה החיצונית להיות  |\psi\rang \lang \phi|

כאשר למעשה פעולת אופרטור זו מוגדרת עבור קט |\rho\rangle להיות |\psi\rangle\langle\phi|\rho\rangle (ולמעשה קיבלנו מכפלה סקלרית |\psi\rangle\langle\phi|\rho\rangle כמקדם של הקט | \psi \rangle.

השימוש המרכזי של הצגה זו היא בהצגת אופרטור הטלה. כאשר נתון וקטור \langle\phi| בעל נורמה 1 (משמע: \langle\phi|\phi\rangle=1) נקבל כי  |\phi\rang \lang \phi| היא ההטלה האורתוגונלית לתוך תת-המרחב הנפרש על ידי  |\phi\rang.

הצגה במושגים של ברה וקט[עריכת קוד מקור | עריכה]

במכניקת הקוונטים לעתים קרובות נוח לעבוד עם ההטלות של מצבים וקטורים לתוך בסיס מסוים, מאשר עם הווקטורים עצמם. הסיבה לכך היא שההיטלים הם מספרים מרוכבים, אשר אפשר לנסח במונחים של משוואה דיפרנציאלית חלקית (דוגמה לכך אפשר לראות בפיתוח המצבים העצמיים של משוואת שרדינגר).

לדוגמה, מרחב הילברט של חלקיק נקודתי בעל ספין אפס נפרש על ידי בסיס המקום \lbrace|\mathbf{x}\rangle\rbrace כאשר הסימון \mathbf{x} מייצג סט של וקטורי בסיס. אם נתחיל על קט כלשהו |\psi\rangle במרחב הילברט, אנו יכולים לאפיינו באמצעות פונקציה סקלרית של \mathbf{x} הידועה בשם פונקציית הגל: \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|\psi\rang תחת הצגה זאת נהוג להגדיר אופרטור לינארי הפועל על פונקציות גל במונחים של אופרטורים לינאריים הפועלים על קטים על ידי A \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|A|\psi\rang

למרות שהאופרטור A הנמצא בצד שמאל של המשוואה מסומן בצורה זהה לזאת של האופרטור A בצד ימין יש להבין כי מדובר בשתי ישויות מתמטיות שונות מבחינה קונספטואלית. בעוד הראשונה פועלת על פונקציות גל, השנייה פועלת על קטים, משמע על וקטורים במרחב הילברט.

לדוגמה: אם כי לאופרטור התנע p יש, באופן תאורטי, את הצורה הבאה: \mathbf{p} \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x} |\mathbf{p}|\psi\rang = - i \hbar \nabla \psi(x) אין זה בלתי-סביר להיתקל גם בכתיבה מהצורה:  - i \hbar \nabla |\psi\rang

אפשר לומר כי שימוש זה הנו "שימוש חורג", למרות השימוש הנפוץ בו. במקרה זה יש לחשוב על האופרטור הדיפרנציאלי כאופרטור לינארי מופשט במרחב הילברט הפועל על קטים ומקבל את משמעותו הדיפרנציאלית רק כאשר מתורגם הווקטור לפונקציית הגל בבסיס המקום.

מרחבי מכפלה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבוא והגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר יש מספר מספרים קוונטים המאפיינים את המערכת, התיאור המתמטי הפורמלי שלה הוא למעשה מכפלה טנזורית (מכפלה חיצונית) של ה-קט-ים ממרחבי הילברט. לרוב משתמשים במרחבי מכפלה כאשר יש מספר חלקיקים בבעיה.

שני מרחבי הילברט אשר נסמנם ב-V ו-W יכולים ליצור מרחב הילברט שלישי V \otimes W בעזרת מכפלה טנזורית. במכניקת הקוונטים, מרחב זה משמש לתיאור מערכות מורכבות. אם מערכת מורכבת משתי מערכות שנסמנן ב-V ו-W בהתאמה, אז כל המערכת תתואר על ידי המכפלה הטנזורית של שני המרחבים (יוצא מן הכלל לכך הוא המצב בו שתי תתי-המערכות מתארות חלקיקים זהים. במקרה זה העניין מסובך יותר).

אם |\psi\rangle הוא קט במרחב V ו-|\phi\rangle הוא קט במרחב W, אזי המכפלה הטנזורית של שני הקטים תהיה הקט V \otimes W. נהוג לרשום ביטוי זה גם כ-|\psi\rangle|\phi\rangle או כ-|\psi\rangle \otimes |\phi\rangle או לחלופין כ-|\psi \phi\rangle

דוגמה כללית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח שיש לנו 2 חלקיקים בעלי מסה זהה עם המילטוניאן

\ H = \frac{p_1^2}{2m} + \frac{p_2^2}{2m} + V(\vec{r_1}) + V(\vec{r_2})

לכל אחד יהיה סט מצבים עצמיים \ | n \rang \in \mathbb{H} כאשר H הוא מרחב הילברט שנפרש על ידי המצבים העצמיים של ההמילטוניאן \ H = \frac{p^2}{2m} + V(\vec{r}).

את התיאור של המצב הקוונטי של 2 החלקיקים נתאר באמצעות קט השייך למרחב המכפלה \ | \psi \rang \in \mathbb{H} \otimes \mathbb{H}, קט כזה יהיה מהצורה \ | \psi \rang = | n \rang _1 \otimes | k \rang _2 = | n \rang _1 | k \rang _2 כאשר בכתיבת קט-ים נהוג להשמיט את סימן המכפלה הטנזורית.

סימטריות ביחס להחלפת חלקיקים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נהוג להגדיר אופרטור החלפת חלקיקים. עבור חלקיקים הוא מוגדר כך:

\ P_{21}| n \rang _1 | k \rang _2 = | k \rang _1 | n \rang _2

עבור N חלקיקים מגדירים באופן דומה אופרטור פרמוטציה (תמורה) שמסדר מחדש את האינדקסים של N החלקיקים. חילוף (כלומר, אופרטור החלפת חלקיקים) הוא מקרה פרטי של פרמוטציה. למעשה, כל פרמוטציה ניתנת להצגה כהרכבה של חילופים.


אנו נאמר שפונקציית הגל (ליתר דיוק, המצב הקוונטי) סימטרית להחלפת חלקיקים אם \ P_{21} |\psi \rang = | \psi \rang.

לדוגמה: פונקציית הגל

\ | \psi_s \rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | n \rang _1 | k \rang _2 + | k \rang _1 | n \rang _2 \right)

היא סימטרית להחלפת חלקיקים שכן \ P_{21} \left( | n \rang _1 | k \rang _2 + | k \rang _1 | n \rang _2 \right) = | k \rang _1 | n \rang _2 + | n \rang _1 | k \rang _2 = | n \rang _1 | k \rang _2 + | k \rang _1 | n \rang _2   .


באותו אופן, נאמר שפונקציית הגל אנטי-סימטרית להחלפת חלקיקים אם \ P_{21} |\psi \rang = - | \psi \rang.

להגדרות ותכונות אלה יש חשיבות רבה כאשר מדובר במערכת של חלקיקים זהים. ניתוח פיזיקלי מתקדם (תורת שדות) ותוצאות של ניסויים הראו שניתן לסווג את כל החלקיקים בטבע על פי התנהגותם כאשר יש מערכת של זוג חלקיקים זהים:

דוגמה פרטית למרחב מכפלה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדוגמה הנפוצה ביותר לשימוש במרחב מכפלה היא מצב EPR שמופיע בגרסת דייוויד בוהם לפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן, מצב זה מתואר באופן מתמטי על ידי

\ | \mbox{EPR} \rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | \uparrow  \rang _1 | \downarrow \rang _2 - | \downarrow \rang _1 | \uparrow \rang _2 \right)

כאשר הקט השמאלי יותר מייצג את הספין של חלקיק מספר 1 (כיוון החץ מציין את כיוון הספין) והקט הימני יותר מייצג את הספין של חלקיק מספר 2.

מצב זה הוא מצב שזור של אנטי-קורלציה מוחלטת, בכל כיוון שמודדים ספין - הספין של חלקיק 2 יהיה הפוך לזה של חלקיק 1 (אם מודדים ל-1 ספין מעלה, אזי 2 יימדד בהכרח ספין מטה. אם מודדים ל-1 ספין מטה, אז 2 יימדד בהכרח ספין מעלה).

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]