סימון סלאש של פיינמן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

כאשר ריצ'רד פיינמן חקר את משואת דיראק הוא המציא את סימון סלאש של פיינמן הנוח והקצר יותר לרישום גדלים המערבים מטריצות גאמה של דיראק.

אם A הוא 4-וקטור קו-וריאנטי, אזי הסלאש שלו מוגדר להיות

A\!\!\!/\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \gamma^\mu A_\mu

כאשר משתמשים בהסכם הסכימה של איינשטיין ו-γ הן מטריצות גאמה של דיראק.

זהויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

על ידי שימוש בתכונות האנטי-קומוטטור של מטריצות הגאמה של דיראק ניתן להראות שעבור זוג 4-וקטורים קו-ואריאנטים כליים a_\mu ו-b_\mu, מתקיים

a\!\!\!/a\!\!\!/=a^\mu a_\mu=a^2
a\!\!\!/b\!\!\!/+b\!\!\!/a\!\!\!/ = 2 a \cdot b .

בפרט

\partial\!\!\!/^2=\partial^2

ניתן להסיק זהויות נוספות המערבות את סימון הסלאש מתכונות מטריצות גאמה של דיראק על ידי החלפת הטנזור המטרי במכפלה פנימית, לדוגמה:

\operatorname{tr}(a\!\!\!/b\!\!\!/) = 4 a \cdot b
\operatorname{tr}(a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/) = 4 \left[(a\cdot b)(c \cdot d) - (a \cdot c)(b \cdot d) + (a \cdot d)(b \cdot c) \right]
\operatorname{tr}(\gamma_5 a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/) = 4 i \epsilon_{\mu \nu \lambda \sigma} a^\mu b^\nu c^\lambda d^\sigma
\gamma_\mu a\!\!\!/ \gamma^\mu = -2 a\!\!\!/ .
\gamma_\mu a\!\!\!/ b\!\!\!/ \gamma^\mu = 4 a \cdot b \,
\gamma_\mu a\!\!\!/ b\!\!\!/ c\!\!\!/ \gamma^\mu = -2 c\!\!\!/ b\!\!\!/ a\!\!\!/ \,
כאשר
\epsilon_{\mu \nu \lambda \sigma} \, הוא טנזור לוי-צ'יויטה.

עם 4-תנע[עריכת קוד מקור | עריכה]

לעתים קרובת, כאשר משתמשים במשוואת דיראק ופותרים כדי לחשב חתכי פעולה, ניתן למצוא את סימון הסלאש על וקטור 4-תנע:

בהצגת דיראק

\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix},\quad \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix} \,

ומהגדרת ה-4-תנע

 p^{\mu} = \left(E, p^x, p^y, p^z \right) \,

רואים במפורש

p\!\!\!/ = \gamma^\mu p_\mu \, = \gamma^0 p_0 + \gamma^i p_i \,
=\begin{bmatrix} p_0 & 0 \\ 0 & -p_0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & \sigma^i p_i \\ - \sigma^i \cdot p_i & 0 \end{bmatrix} \,
=\begin{bmatrix} E & \mathbf{\sigma \cdot p} \\ -\mathbf{\sigma \cdot p} & -E \end{bmatrix} \,

הביטוי p עם סימון סלאש של פיינמן מופיע בפרופוגטור פיינמן של פרמיון:

\  S_f = \frac{i}{p\!\!\!/ - m} = \frac{i( p\!\!\!/ + m)}{p^2 - m^2 + i \varepsilon}

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons, 1984. ISBN 0-471-88741-2.