סימן לוי-צ'יוויטה

ייצוג וויזואלי של הטנזור

במתמטיקה ובפיזיקה, סימן לוי-צ'יוויטה (באנגלית: Levi-Civita symbol) שמיוצג על ידי האות היוונית אפסילון ($\ \epsilon$), מאפשר במקרים מסוימים לקצר את רישומן של פעולות על וקטורים ועל טנזורים. הסימן קרוי על שמו של המתמטיקאי טוליו לוי-צ'יוויטה. הטנזור שאיבריו מוגדרים על ידי סימן לוי-צ'יוויטה קרוי טנזור לוי-צ'יוויטה.

סימן לוי-צ'יוויטה עם שלושה אינדקסים מוגדר באופן הבא:

$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ or } (3,1,2), \\ -1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ or } (2,1,3), \\ 0 & \mbox{otherwise: }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i, \end{cases}$

תכונות

אפשר להכליל את הגדרת סימן לוי-צ'יוויטה ל-n אינדקסים באופן מיידי:

• הוא שווה ל 1+ אם האינדקסים הם תמורה זוגית של $\ \left( 1, 2, 3 , \cdots , n \right)$.
• הוא שווה ל 1- אם האינדקסים הם תמורה אי-זוגית של $\left( 1, 2, 3 , \cdots , n \right)$.
• הוא שווה ל 0 אם יש זוג אינדקסים זהים.

סימן לוי-צ'יוויטה מקיים מספר זהויות חשובות:

• $\sum_{i=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$
• $\sum_{i,j=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}$

הזהות הבאה נכונה לכל מספר של אינדקסים:

• $\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \epsilon_{ijk\dots}\epsilon_{ijk\dots} = n!$

שימושים

סימן לוי-צ'יוויטה שימושי ביותר באנליזה וקטורית במרחב תלת-ממדי. באמצעותו ניתן להגדיר מכפלה וקטורית:

$\mathbf{a \times b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} = \sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k$

או ביתר פשטות:

$\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k$

או בכתיב מקוצר לפי הסכם הסכימה של איינשטיין:

$\ \left( \vec{A} \times \vec{B} \right) _{k} = \varepsilon_{ijk} A_i B_j$

ראו גם

• תמורה (מתמטיקה)
• חבורת התמורות $\ S_n$
• טנזור
• הדלתא של קרונקר