סימן לוי-צ'יוויטה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ייצוג וויזואלי של הטנזור

במתמטיקה ובפיזיקה, סימן לוי-צ'יוויטהאנגלית: Levi-Civita symbol) שמיוצג על ידי האות היוונית אפסילון (\ \epsilon), מאפשר במקרים מסוימים לקצר את רישומן של פעולות על וקטורים ועל טנזורים. הסימן קרוי על שמו של המתמטיקאי טוליו לוי-צ'יוויטה. הטנזור שאיבריו מוגדרים על ידי סימן לוי-צ'יוויטה קרוי טנזור לוי-צ'יוויטה.

סימן לוי-צ'יוויטה עם שלושה אינדקסים מוגדר באופן הבא:

 \varepsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ or } (3,1,2), \\
-1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ or } (2,1,3), \\
0 & \mbox{otherwise: }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i,
\end{cases}

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר להכליל את הגדרת סימן לוי-צ'יוויטה ל-n אינדקסים באופן מיידי:

  • הוא שווה ל 1+ אם האינדקסים הם תמורה זוגית של \ \left( 1, 2, 3 , \cdots , n \right).
  • הוא שווה ל 1- אם האינדקסים הם תמורה אי-זוגית של \left( 1, 2, 3 , \cdots , n \right).
  • הוא שווה ל 0 אם יש זוג אינדקסים זהים.

סימן לוי-צ'יוויטה מקיים מספר זהויות חשובות:

  • 
\sum_{i=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
  • 
\sum_{i,j=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}

הזהות הבאה נכונה לכל מספר של אינדקסים:

  • 
\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \epsilon_{ijk\dots}\epsilon_{ijk\dots} = n!

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

סימן לוי-צ'יוויטה שימושי ביותר באנליזה וקטורית במרחב תלת-ממדי. באמצעותו ניתן להגדיר מכפלה וקטורית:


\mathbf{a \times b} =
  \begin{vmatrix} 
    \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3 \\
  \end{vmatrix}
= \sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k

או ביתר פשטות:


\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k

או בכתיב מקוצר לפי הסכם הסכימה של איינשטיין:

 \ \left( \vec{A} \times \vec{B} \right) _{k} = \varepsilon_{ijk} A_i B_j

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]