סימן לז'נדר

סימן לז'נדר הוא מושג בתורת המספרים. הסימן קרוי על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר. סימן לז'נדר מופיע בהקשר של פירוק לגורמים ושארית ריבועית.
סימן יעקובי הוא הרחבה של סימן לז'נדר.

הגדרה

תחום הפונקציה $\left(\frac{a}{p}\right)$ הוא קבוצת כל הזוגות הסדורים (p,a) כאשר p ראשוני אי-זוגי ו-a שלם, וטווח הפונקציה הוא {1,0,1-}.

עבור כל זוג (p,a) סימן לז'נדר מוגדר על ידי:

a מתחלק ב-p ללא שארית a לא מתחלק ב-p וקיים x שלם המקיים (x²≡a (mod p, כלומר a שארית ריבועית של p a לא מתחלק ב-p ולא קיים x שלם המקיים (x²≡a (mod p, כלומר a אינו שארית ריבועית של p

$\left(\frac{a}{p}\right)=\left\{\begin{matrix} 0 & a \equiv 0 \pmod p & \\ 1 & a \not \equiv 0 \pmod p ; & a \equiv x^2 \pmod p \\ -1 & a \not \equiv 0 \pmod p ; & a \not \equiv x^2 \pmod p \end{matrix}\right.$

תכונות סימן לז'נדר

אם $\ p,q$ ראשוניים אי זוגיים, ו-$\ a,b$ שלמים, אזי:

1. $\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$
2. אם מתקיים $a \equiv b \pmod{p}$ אז מתקיים גם: $\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)$
3. $\left(\frac{1}{p}\right) = 1$
4. $\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}=\begin{cases}1 & \mbox{ if }p \equiv 1\pmod{4} \\ -1 & \mbox{ if }p \equiv 3\pmod{4} \end{cases}$
5. $\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}=\begin{cases}1 & \mbox{ if }p \equiv \pm 1 \pmod{8} \\ -1 & \mbox{ if }p \equiv \pm 3 \pmod{8} \end{cases}$
6. $\left(\frac{3}{p}\right)=\begin{cases}1 & \mbox{ if }p \equiv \pm 1 \pmod{12} \\ -1 & \mbox{ if }p \equiv \pm 5 \pmod{12} \end{cases}$
7. $\left(\frac{5}{p}\right)=\begin{cases} 1 & \mbox{ if }p \equiv \pm 1 \pmod5 \\ -1 & \mbox{ if }p \equiv \pm 2 \pmod5 \end{cases}$
8. $\ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=\left(-1\right)^{\left(\frac{p-1}{2}\right)\left(\frac{q-1}{2}\right)}$ (משפט ההדדיות הריבועית)

ראו גם

• שארית ריבועית
• סימן יעקובי
• משפט ההדדיות הריבועית

קישורים חיצוניים

• סימן לז'נדר, באתר MathWorld (באנגלית)