סינגולריות (מתמטיקה)

במתמטיקה, נקודה סינגולרית היא נקודה שבה פונקציה (בדרך כלל פונקציה מרוכבת) או משוואה דיפרנציאלית איננה מוגדרת היטב.

נקודות סינגולריות (אנליזה מרוכבת)

נקודת סינגולריות של פונקציה מרוכבת היא נקודה שבה הפונקציה אינה הולומורפית, אך כך שהיא הולומורפית בסביבתה. יש שלושה סוגים שונים של נקודות סינגולריות מבודדות, השונים זה מזה באופיים, וניתנים לאפיון באמצעות פיתוח הפונקציה לטור לורן סביב הסינגולריות.

סינגולריות סליקה

נקודת סינגולריות סליקה היא נקודה אשר הפונקציה שואפת בה לגבול סופי. מקור שמה של סינגולריות זו בכך שהשלמת הפונקציה באופן רציף בנקודה זו תתן פונקציה האנליטית , כלומר, ניתן "לסלק" את הסינגולריות. טור לורן של פונקציה סביב נקודות סינגולריות סליקה מתאפיין בכך שלא מופיעים בו אברים עם חזקות שליליות - כלומר, הטור לורן הופך לטור טיילור. דוגמה לנקודת סינגולריות סליקה, ניתן לראות את הנקודה $\ z=0$ עבור הפונקציה $y\left(z\right)=\frac{\sin z}{z}$ .ניתן "לסלק" את הסינגולריות של הפונקציה הזאת על ידי החלפת פונקציה זאת בפונקציה הרציפה:

$y_1\left(z\right)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\sin z}{z}&z\ne0\\[4pt] 1&z=0 \end{array} \right.$

קוטב

קטבים מסדר $\displaystyle n$ הם נקודות סינגולריות בהן הפונקציה מתבדרת לאינסוף. טור לורן סביב נקודה כזו מצטיין בכך שיש לו מספר $\displaystyle n$ סופי ($\ n\ge 1$) של אברים עם חזקות שליליות. החזקה השלילית הגדולה ביותר בטור לורן של הפונקציה מכונה סדר הקוטב.אפשר לגרום לפונקציה להתכנס לערך סופי על ידי הכפלה של הפונקציה ב-$\left(x-x_0\right)^n$. כדוגמה לקוטב בסדר גודל 3 של פונקציה מרוכבת, ניתן להתבונן בנקודה $\displaystyle x=7$ עבור הפונקציה $\displaystyle\frac{\sin x}{\left(x-7\right)^3}$. כאשר מכפילים את הפונקציה ב-$\left(x-7\right)^3$ הפונקציה מתכנסת לערך סופי $\left(\sin7\right)$.

סינגולריות עיקרית

הפונקציה $y=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ יש לה אין סוף תנודות קרוב לנקודה $\displaystyle x=0$

נקודות סינגולריות עיקריות הן אלה אשר לפונקציה אין גבול (סופי או אינסופי) בסביבתן. משפט קסורטי-ויירשטראס מאפיין נקודות אלה כנקודות אשר הפונקציה מקבלת ערכים הקרובים כרצוננו לכל נקודה מרוכבת בסביבתן. בניסוח אחר: תמונתה של כל סביבה של נקודת סינגולריות עיקרית היא צפופה במישור המרוכב. טורי לורן של פונקציה סביב נקודת סינגולריות עיקרית מכילים מספר אינסופי של אברים עם חזקות שליליות. כדוגמה לפונקציה בעלת נקודת סינגולריות עיקרית ניתן לראות את הפונקציה $\ \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ אשר יש לה אין סוף תנודות קרוב לנקודה $\displaystyle x=0$.

נקודות סינגולריות במשוואות דיפרנציאליות

עבור משוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר כלשהו, אפשר להגדיר נקודות סינגולריות באמצעות הצגתה כמשוואת אוילר. נקודות סינגולריות קורות כאשר המקדם של הנגזרת הגבוהה ביותר מתאפס. סביב נקודות סינגולריות אפשר לנחש פתרון בצורה של טור אינסופי, שיטה זו נקראת שיטת פרוביניוס.

נקודות סינגולריות ביריעות אלגבריות

אם V יריעה אלגברית ו$\,P \in V$ נקודה על היריעה, אז P נקראת סינגולרית אם החוג המקומי המתקבל על ידי לוקליזציה של חוג הקואורדינטות של V באידאל הראשוני של אוסף הפונקציות המתאפסות בP אינו חוג מקומי רגולרי.

נקודות סינגולריות בסכמות

באופן יותר כללי, אם $\,(X,\mathcal{O}_X)$ היא סכמה ואם $\,P \in X$, אז P נקראת סינגולרית אם החוג $\mathcal{O}_P$ אינו חוג מקומי רגולרי.