סכום ישר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, סכום ישר הוא אובייקט מתמטי המורכב מכמה אובייקטים מאותו סוג ללא "הפרעות" הדדיות ביניהם. אפשר להגדיר סכום ישר של מבנים אלגבריים כמו מרחבים וקטוריים או מודולים, אבל גם של מטריצות, גרפים, קבוצות סדורות או מרחבים טופולוגיים.

הסכום הישר של שני אובייקטים מורכב, כקבוצה, מן הזוגות הסדורים שאפשר לבנות מהם, ולכן הוא שווה למכפלה הישרה שלהם; כך גם בכל מספר סופי של מבנים. לעומת זאת, כאשר מטפלים במספר מבנים אינסופי, הסכום הישר מוכל במכפלה הישרה, והוא כולל רק את הווקטורים שכמעט כל אבריהם אפס.

הסכום הישר מאפשר לטפל במספר כלשהו של אובייקטים בבת-אחת. אפשר להבחין בין בניה "חיצונית" של סכום ישר, המשלבת מבנים נתונים למבנה אחד גדול, לבין בניה "פנימית", המזהה שמבנה נתון מורכב מתת-מבנים שלו. ההבדל אינו פורמלי, משום שבשתי הדרכים מקבלים מבנים איזומורפיים.

הגדרה קטגורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתורת הקטגוריות, המכפלה הישרה של אובייקטים \ A_i בקטגוריה, היא אובייקט \ B=\prod A_i, עם מורפיזמים ("היטלים") \ \pi_i {:} B\rightarrow A_i, המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט \ C בקטגוריה עם מורפיזמים \ f_i{:}C\rightarrow A_i, קיים מורפיזם יחיד \ f{:}C \rightarrow B כך ש- \ f_i = \pi_i f.

הסכום הישר מוגדר באופן דואלי: הסכום הישר של האובייקטים \ A_i, הוא אובייקט \ B=\coprod A_i, עם מורפיזמים \ \iota_i {:} A_i \rightarrow B, המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט \ C בקטגוריה עם מורפיזמים \ f_i{:}A_i\rightarrow C, קיים מורפיזם יחיד \ f{:}B \rightarrow C כך ש- \ f_i = f \iota_i. אם הסכום הישר קיים בקטגוריה, אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.

סכום ישר של שני מבנים[עריכת קוד מקור | עריכה]

סכום ישר של מרחבים וקטוריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ V ו- \ W מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה \ F, הסכום הישר שלהם הוא מרחב וקטורי חדש, \ V\oplus W, שאבריו הם הזוגות הסדורים \ (v,w) (כאשר \ v\in V, w\in W), עם פעולות החיבור והכפל בסקלר לפי רכיבים: \ (v_1,w_1)+(v_2,w_2)=(v_1+v_2,w_1+w_2), ו- \ \alpha(v,w)=(\alpha v,\alpha w). התוצאה היא מרחב וקטורי שממדו הוא סכום הממדים של \ V ושל \ W. המרחב החדש מכיל את שני המרחבים \ \{(v,0) : v \in V\}, \{(0,w): w\in W\}, וכל וקטור שלו אפשר להציג באופן יחיד כסכום של וקטור מן הסוג הראשון ווקטור מן הסוג השני.

תכונות אלה מציעות הגדרה של סכום ישר פנימי: אם \ V הוא מרחב וקטורי, עם תת-מרחבים \ U_1,...,U_n, וכל וקטור \ v \in V ניתן להצגה כסכום \ v=\sum_{i=1}^{n} {u_i}, כאשר u_i \in U_i, אז אומרים ש- \ V הוא סכום של \ U_1,...,U_n, וכותבים \ V=U_1+...+U_n. אם הצגה כזו היא תמיד יחידה, אז הסכום הוא סכום ישר, אותו מסמנים ב-\ V=U_1 \oplus ... \oplus U_n.

בהינתן ש-\ V=U_1+...+U_n, הטענה שלכל וקטור יש הצגה יחידה כאמור, שקולה לכך שההצגה היחידה של 0 היא 0=0+...+0, וכן שקולה לכך שהחיתוך של כל מרחב U_i עם \sum_{j=1}^{n} {U_j} (כאשר i \ne j) מכיל רק את וקטור ה-0. אפיון שקול לסכום ישר הוא אם הבסיסים של \ U_1,...,U_n זרים בזוגות, והאיחוד שלהם מהווה בסיס למרחב V.

מכיוון שהמרחבים \ V,W איזומורפיים לתת-המרחבים \ \{(v,0)\} ו-\ \{(0,w)\}, בהתאמה, הסכום הישר ה"חיצוני" הוא גם סכום ישר פנימי של תת-מרחבים וקטוריים, \ V\oplus W = (V\oplus 0)+(0\oplus W), ולהיפך.

סכום ישר של מרחבי מכפלה פנימית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסכום הישר של מרחבי מכפלה פנימית \ U,V הוא המרחב הווקטורי \ U\oplus V שהוגדר לעיל, עם המכפלה הפנימית \langle u_1\oplus v_1,u_2 \oplus v_2 \rangle \equiv \langle u_1,u_2 \rangle + \langle v_1,v_2\rangle . באופן זה תת-המרחבים \ U\oplus 0 ו- \ 0\oplus V מאונכים זה לזה, וכך מתקיים משפט פיתגורס: ריבוע הנורמה של \ u+v שווה לסכום ריבועי הנורמות של \ u ושל \ v (כאשר \ u\in U, v\in V). תכונה זו מכלילה את הסכום הישר של תבניות ריבועיות.

ההגדרה מכבדת גם את המבנה הטופולוגי של המרחבים הווקטוריים (המושרה על ידי הנורמה): סדרה \ \{u_n+v_n\} מתכנסת לגבול \ u+v אם ורק אם שתי סדרות הרכיבים מתכנסות ל- \ u ו- \ v, בהתאמה. בפרט, סכום ישר של שני מרחבי הילברט הוא מרחב הילברט.

במקרה המיוחד של \ \mathbb{R}^n או \ \mathbb{C}^n, המכפלה הפנימית הסטנדרטית מתקבלת מחיבור חוזר של המכפלות הפנימיות הטבעיות על \ \mathbb{R} או \ \mathbb{C} (\ \langle a,b\rangle = ab במקרה הראשון, \ \langle a,b\rangle = a\bar{b} בשני).

סכום ישר של מודולים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסכום הישר של מרחבים וקטוריים הוא מקרה פרטי של סכום ישר של מודולים. נניח ש- \ M,N הם מודולים שמאליים מעל חוג \ R. אפשר להגדיר את המודול \,M \oplus N, כקבוצה הכוללת את כל הזוגות \ (m,n) (עם \ m\in M, n\in N), והפעולות לפי רכיבים כבמקרה של מרחבים וקטוריים. גם כאן אפשר להגדיר סכום ישר פנימי, המתלכד עם הסכום הישר החיצוני.

סכום ישר של עותקים של החוג (כמודול מעל עצמו) נקרא מודול חופשי. מודול M הוא חופשי אם ורק אם יש לו בסיס, כלומר קבוצת איברים \ e_1,\dots,e_n כך שכל איבר אפשר להציג באופן יחיד כצירוף לינארי \ r_1e_1+\cdots+r_ne_n עבור \ r_1,\dots,r_n\in R.

סכום ישר של שתי אלגברות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר לראות כל אלגברה (בין אם היא אסוציאטיבית ובין אם לאו) כמודול מעל חוג עם מכפלה בילינארית. לכן, עבור שתי אלגברות \ A,B מעל אותו חוג . R נגדיר את  A\oplus B באותו אופן שהגדרנו את הסכום עבור שני מודולים, ואת המכפלה (\ a_1,a_2\in A, b_1,b_2\in B) על ידי (a_1 \oplus b_1) \star (a_2 \oplus b_2 ) \equiv (a_1 \star a_2) \oplus (b_1 \star b_2).

סכום ישר של מטריצות ריבועיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם A ו- B הן שתי מטריצות ריבועיות בגודל n ו- m בהתאמה, אז הסכום הישר \ A\oplus B הוא המטריצה \ \left(\begin{matrix}A & 0\\ 0 & B\end{matrix}\right), בגודל n+m. אם V ו- W הם מרחבים וקטוריים ו- A,B המטריצות המייצגות של העתקות \ T{:}V\rightarrow V ו- \ S{:}W\rightarrow W בהתאמה (ביחס לבסיסים \ B_V ו- \ B_W), אז \ A\oplus B היא המטריצה המייצגת של ההעתקה \ (T,S){:} V\oplus W\rightarrow V\oplus W המוגדרת לפי \ (T,S)(v,w)=(T(v),S(w)) (ביחס לבסיס \ B_V \cup B_W).

הסכום הישר מקיים \ (A\oplus B)+(A'\oplus B') = (A+A') \oplus (B+B') ו- \ (A\oplus B)(A'\oplus B') = AA' \oplus BB'.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]