ספקטרום של חוג

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ספקטרום של חוג R הוא מרחב טופולוגי שהנקודות שלו הן האידאלים הראשוניים של החוג. המרחב הזה, במיוחד כאשר R קומוטטיבי, מגשר בין המבנה האלגברי של החוג למבנים גאומטריים המתאימים לו, והוא מוביל להגדרה של סכמות, שהן מושא המחקר הבסיסי של הגאומטריה האלגברית המודרנית.

הספקטרום הוא תמיד מרחב קומפקטי המקיים את תכונת ההפרדה T0.

טופולוגיית זריצקי[עריכת קוד מקור | עריכה]

את אוסף האידאלים הראשוניים של R מסמנים ב-\operatorname{Spec}(R). הקבוצות הסגורות במרחב הזה הן הקבוצות \ V_I = \{P: I \subseteq P\}, לכל אידאל I של החוג (זוהי אכן טופולוגיה, משום שהאוסף הזה סגור לאיחוד סופי ולחיתוך כלשהו: \ V_I \cup V_J = V_{IJ} ו-\bigcap V_{I_i} = V_{\sum I_i}).

הטופולוגיה רחוקה מלהיות מטרית. לדוגמה, היא מקיימת את תכונת ההפרדה T1 רק כאשר כל אידאל ראשוני הוא אידאל מקסימלי. הסגור של \{P\} שווה ל-\ V_P (לכן P היא "נקודה גנרית" של \ V_P). אם \ P_1,P_2,\dots סדרה של ראשוניים, \ Q = \lim_{n\rightarrow \infty}P_n אם ורק אם \bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=m}^{\infty}P_n \subseteq Q.

את טופולוגיית זריצקי אפשר להגדיר גם באמצעות בסיס לטופולוגיה של קבוצות ראשיות פתוחות: לכל f \in R מגדירים

D(f) = \left\{ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(R) \ : \ \mathfrak{p} \not\ni f \right\}.

הספקטרום של חוג קומוטטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בחוג הפולינומים \,k[x_1,\dots,x_n] (כאשר \,k שדה סגור אלגברית), כל אידאל \,I מגדיר קבוצה אלגברית אפינית (קבוצת ה-n-יות אשר כל הפולינומים ב-\,I מאפסים). הקבוצה הזו אי-פריקה אם ורק אם האידאל הוא ראשוני; ראו בערך יריעה אלגברית. אל היריעות אלו אפשר להתייחס כאל קבוצות ממימד גבוה במרחב האפיני kn, בהכללה להתאמה של אידאלים מקסימליים (לפי משפט האפסים של הילברט) לנקודות, שמימדן אפס. דבר זה מאפשר הפשטה: עבור כל חוג (חילופי) נגדיר את קבוצת ה"נקודות" של האובייקט הגאומטרי התואם לו כקבוצת האידאלים הראשוניים בחוג. על קבוצה זו, הספקטרום, מגדירים טופולוגיה מתאימה (הכללה של טופולוגיית זריצקי), ואלומה של חוגים, כך שאנו מקבלים מבנה של מרחב מחויג מקומית. מרחב זה נקרא הספקטרום של החוג, או הסכמה האפינית התואמת לחוג, וזהו שלב ראשון בהגדרה של סכימות.

סכמה אפינית[עריכת קוד מקור | עריכה]

סכמה אפינית היא מרחב טופולוגי מחויג מקומית המצויד בטופולוגיית זריצקי עם אלומה של חוגים. סכמה אפינית ניתנת להצגה כספטרום של חוג קומוטטיבי עם יחידה R, כלומר: X = \operatorname{Spec}(R) כאשר אלומת המבנה שלו מוגדרת על בסיס לטופולוגיה של קבוצות פתוחות ראשיות באופן הבא

\mathcal{O}_X \left( D(f) \right) = R_f

כאשר R_f = S^{-1}R הוא הלוקליזציה של R במערכת הכפלית S = \{ 1, f, f^2, f^3, ... \}. הנבט של כל אלומה כזאת \mathcal{O}_{X,x} בכל x \in X היא חוג מקומי שבו אידאל מקסימלי יחיד \mathfrak{m}_x שהוא, באופן אינטואיטיבי, אוסף איברי החוג שמתאפסים בנקודה x. למנה k_x = \mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x קוראים "שדה השארית ב-x".