ספקטרום (מתמטיקה)

באנליזה פונקציונלית, הסְפֶּקְטְרוּם של אופרטור חסום A ממרחב בנך לעצמו, הוא קבוצת הנקודות $\ \lambda$ במישור המרוכב שעבורן האופרטור $\ A-\lambda I$ איננו הפיך באלגברה של האופרטורים החסומים על המרחב. אפשר לראות בספקטרום הכללה של מושג הערך העצמי, ואכן, כל ערך עצמי של האופרטור שייך לספקטרום שלו. הספקטרום מקשר את האופרטור, העשוי להיות מוגדר על מרחב בעל ממד אינסופי, למישור המרוכב, ומאפשר כניסה של כלים אנליטיים לאנליזה הפונקציונלית.

הגדרה פורמלית

יהי $\ T:H\to H$ אופרטור ליניארי על מרחב בנך $H$. נגדיר את אופרטור ה"Resolventa" (הרסולבר) כ:

$\ R_{T}(\lambda )=T-\lambda I$

ואת ההפכי שלו (כאשר קיים) כ

$\ \Gamma _{T}(\lambda )=(R_{T}(\lambda ))^{-1}=(T-\lambda I)^{-1}$

ניתן להתייחס לרסולבר כאל פונקציה המוגדרת על חלק מהמישור המרוכב $\mathbb {C}$, ומחזירה ערכים במרחב האופרטורים של H. הגישה הזו מאפשרת להשתמש בכלים החזקים של האנליזה המרוכבת על מנת להוכיח תוצאות חשובות.

נקודה $\ \lambda \in \mathbb {C}$ תיקרא נקודה רגולרית אם עבורה $\ \Gamma _{T}(\lambda )=\left(R_{T}(\lambda )\right)^{-1}=(T-\lambda I)^{-1}$ קיים. לפי משפט ההעתקה הפתוחה, נובע שההפכי הוא אופרטור חסום. את קבוצת כל הנקודות הרגולריות מסמנים $\ \rho (T)$. נקודה שאיננה רגולרית היא נקודת ספקטרום. קבוצת נקודות הספטרום של אופרטור מסומנת כ $\ \sigma (T)$.

הספקטרום כקבוצה קומפקטית

האפיון הבסיסי של הספקטרום הוא שזוהי, בכל מקרה, קבוצה קומפקטית לא ריקה.

הוכחה שהספקטרום לא ריק

נניח בשלילה שהספטקרום קבוצה ריקה. אזי לכל $\ \lambda \in \mathbb {C}$ האופרטור $\ \Gamma _{T}(\lambda )=\left(R_{T}(\lambda )\right)^{-1}=(T-\lambda I)^{-1}$ קיים וחסום ומוגדר היטב. בפרט, תהי $\ \Phi :B(H)\to \mathbb {C}$ פונקציה מרוכבת אנליטית. אזי נקבל ש

$\ F(\lambda )=\Phi (\Gamma _{T}(\lambda )):\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

היא פונקציה שאנליטית על כל המישור : זאת כי $\lim _{\mu \to \lambda }{\frac {F(\lambda )-F(\mu )}{\lambda -\mu }}=-\Phi (\Gamma _{T}(\lambda )^{2})$. כמו כן, היא חסומה מאחר שהרסולבר עצמו חסום והיא שואפת לאפס עבור $\lambda \to \infty$).

לכן, לפי משפט ליוביל היא קבועה בכל המישור המרוכב ושווה לאפס. זו כמובן סתירה, ולכן הספקטרום איננו ריק.

הוכחה שהספקטרום חסום

כדי להראות שהספקטרום חסום נשתמש בפיתוח ניומן,

$(I-A)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }A^{n}$,

שתקף לכל אופרטור חסום המקיים $\ \|A\|<1$. אזי

$\ R_{T}(\lambda )^{-1}=(T-\lambda I)^{-1}=-{\frac {1}{\lambda }}(I-\lambda ^{-1}T)^{-1}=-{\frac {1}{\lambda }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {T_{n}}{\lambda ^{n}}}$

ופיתוח זה תקף אם $\ \|T\|<|\lambda |$. כלומר: לכל $\ |\lambda |<\|T\|$ הפיתוח לעיל איננו תקף ולכן ההופכי של הרסולבר איננו קיים, לכל $\ \|T\|<|\lambda |$ הפיתוח כן תקף ולכן ההופכי של הרסולבר כן קיים. כלומר: אם $\ \|T\|<|\lambda |$ אזי $\ \lambda \notin \sigma (T)$ ולכן ברור שהספקטרום חסום על ידי $\|T\|$ (הנורמה של האופרטור).

לאור עובדה זאת, אפשר להגדיר את הרדיוס הספקטרלי באופן הבא:

$r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}$

וניתן להראות שההפכי של רדיוס הוא רדיוס ההתכנסות של הטור. הרדיוס הספקטרלי של אופרטור T תמיד חסום על ידי הנורמה של T.

הוכחה שהספקטרום סגור

ניתן להוכיח שהמשלים של הספקטרום היא קבוצה פתוחה. זוהי תוצאה כללית יותר של אלגברה ליניארית הקובעת שאם A הפיך ו $\|A-B\|<\|A^{-1}\|^{-1}$ אזי B הפיך גם כן. מכך מסיקים שקבוצת הנקודות הרגולריות פתוחה ולכן המשלים שלה - הספקטרום - היא קבוצה סגורה.

מיון נקודות ספקטרום

באופן אינטואיטיבי, יש מספר סיבות המונעות מאופרטור S להיות הפיך באלגברת האופרטורים החסומים. כל סיבה כזאת מולידה סוג שונה של נקודות ספקטרום.

את הספקטרום אפשר למיין ל 3 מחלקות הממצות אותו:

1. ספקטרום נקודתי $\ \sigma _{p}(T)$,
2. ספקטרום רציף $\ \sigma _{c}(T)$
3. ספקטרום שארית $\ \sigma _{\Gamma }(T)$.

הספקטרום הנקודתי מוכל בספקטרום הרציף, והאחרון כולל גם כל נקודת הצטברות של הספקטרום.

ספקטרום נקודתי

אופרטור שאינו חד-חד-ערכי אינו יכול להיות הפיך. באלגברה ליניארית זה שקול לכך שהגרעין שלו איננו טריוויאלי (כזה שמכיל רק את אפס).

מספר ממשי $\lambda$ מקיים $\lambda \in \sigma _{p}(T)$, אם הרסולבר $\ T-\lambda I$ אינו חד־חד־ערכי, כלומר $\ {\mbox{ker}}\left(T-\lambda I\right)\neq \{0\}$.

תנאי זה שקול לכך שקיים וקטור $\ v\neq 0$ כך ש־$\ \left(T-\lambda I\right)v=0$, או (באופן שקול) $\ Tv=\lambda v$, כלומר, $\ \lambda$ הוא ערך עצמי של האופרטור. לכן, הספקטרום הנקודתי שווה לקבוצת הערכים העצמיים של האופרטור.

ספקטרום רציף

אופרטור S איננו הפיך אם הוא לא חסום מלמטה בערכו המוחלט, שכן אם הוא איננו חסום מלמטה קיימת סדרה של נקודות שעבורם הערך של S שואף לאפס ולכן עבור ה"הפכי" של S נקבל סדרת ערכים שעבורם אותו הופכי איננו חסום (ואם סדרת נקודות זו מתכנסת, אזי ל S^-1 יש סינגולריות ולכן הוא לא קיים בכל המרחב).

באופן פורמלי, נאמר ש $\ \lambda \in \sigma _{c}(T)$ אם הרסולבר עבורה מקיים:

$\ {\mbox{ker}}\left(T-\lambda I\right)=\{0\}\quad ,\quad {\mbox{Im}}\left(T-\lambda I\right)\neq H\quad ,\quad {\overline {{\mbox{Im}}\left(T-\lambda I\right)}}=H$

או באופן שקול, קיימת עבורה סדרת וקטורי יחידה $\ \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset H$ כך ש

$\ \lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0$

באופן אינטואיטיבי אפשר לומר שנקודת ספקטרום רציף היא מספר $\lambda$, המבקש להיות ערך עצמי, אלא שהווקטור העצמי שלו v הוא נקודה "מחוץ למרחב" (למשל: כי הוא בעל נורמה אינסופית, או שהוא לא מוגדר היטב). דוגמה נפוצה ל"וקטור עצמי" שאיננו איבר במרחב הילברט L₂ היא פונקציית דלתא של דיראק.

ספקטרום שארית או ספקטרום דחיסה

אופרטור S איננו הפיך אם הוא לא על, שכן אז ההפכי איננו חד-חד ערכי ואיננו מוגדר על כל המרחב.

באופן פורמלי, נאמר ש $\ \lambda \in \sigma _{\Gamma }(T)$ אם הרסולבר עבורה מקיים:

$\ {\mbox{ker}}\left(T-\lambda I\right)=\{0\}\quad ,\quad {\mbox{Im}}\left(T-\lambda I\right)\neq H\quad ,\quad {\overline {{\mbox{Im}}\left(T-\lambda I\right)}}\neq H$

כלומר תמונת הרסולבר איננה צפופה ב H, ובפרט הוא לא על.

ספקטרום של אופרטורים קשורים

לפי "משפט העתקת הספקטרום", לכל אופרטור T הפועל על מרחב בנך מרוכב, $\ \sigma (p(T))=p(\sigma (T))$, כאשר $\ p$ פולינום מרוכב כלשהו. קל יותר להראות שאם T הפיך, אז $\ \sigma (T^{-1})=\{\lambda ^{-1}:\lambda \in \sigma (T)\}$.

תוצאות נוספות

• את הרדיוס הספקטרלי ניתן לחשב על ידי $\ r(T)=\lim _{n\to \infty }{\|T^{n}\|^{1/n}}$.
• אם T אופרטור קומפקטי במרחב הילברט מתקיימת אלטרנטיבת פרדהולם: הספקטרום שלו הוא קבוצה בת-מניה (לכל היותר) של ערכים עצמיים, עם הנקודה 0 (שהיא נקודת ההצטברות היחידה של הקבוצה) או בלעדיה.
• אם T אופרטור נורמלי במרחב הילברט אז ניתן ל"לכסן" אותו (משפט הפירוק הספקטרלי) באופן אנלוגי ללכסון של מטריצה נורמלית בממד סופי.
• משפט הפירוק הספקטרלי: אם T אופרטור הרמיטי (צמוד לעצמו) אזי קיים עבורו פירוק ספקטרלי (לכסון) ממשי: כלומר, ניתן להציגו כאינטגרל ספקטרלי ו/או טור פורייה, כאשר הספקטרום שלו כולו ממשי.

ראו גם

• אופרטור
• ערך עצמי
• ספקטרום
• אופרטור הרמיטי
• לכסון מטריצות (מקרה פרטי של לכסון אופרטורים)
• משפט הפירוק הספקטרלי
• אנליזה פונקציונלית
• תורת שטורם-ליוביל
• ספקטרום של איבר באלגברת סי כוכב

קישורים חיצוניים

• ספקטרום, באתר MathWorld (באנגלית)

• מבוא לתורה הספקטרלית של אופרטורים