עוצמת הרצף

עוצמת הרצף היא העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות $\!\ \aleph$, וכן מקובל גם הסימון $\!\, c$ לעוצמה זו.

רעיון האלכסון של קנטור מאפשר להוכיח שהמספרים הממשיים אינם בני מנייה, כלומר שעוצמת הרצף גדולה מעוצמת המספרים הטבעיים (המסומנת $\!\ \aleph_0$). ניתן להוכיח שעוצמת המספרים הממשיים שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים, כלומר $\!\, \aleph=2^{\aleph_0}$.

שאלה שהטרידה את המתמטיקאים במשך שנים רבות היא האם עוצמת הרצף היא הקטנה ביותר מלבד עוצמת המספרים הטבעיים?, ההשערה של קנטור, שזכתה לשם "השערת הרצף", הייתה שהתשובה לשאלה זו חיובית, כלומר: כל קבוצה אינסופית שאינה בת מנייה, היא לפחות בעלת עוצמת הרצף. דוד הילברט מנה את הבעיה הזו כראשונה מבין 23 הבעיות המפורסמות שלו. אחרי עשרות שנים שבהן בעיה זו הייתה פתוחה הוכיח קורט גדל, בשנת 1940, שהשערת הרצף אינה עומדת בסתירה למערכת האקסיומות של תורת הקבוצות (אקסיומות צרמלו-פרנקל). בשנת 1963 הוכיח המתמטיקאי פול כהן שהשערת הרצף אינה תלויה במערכת האקסיומות של תורת הקבוצות. שתי הוכחות אלה פירושן שעל השערת הרצף חל משפט אי השלמות של גדל, כלומר אי אפשר להוכיחה ואי אפשר להפריכה, ולכן העקביות של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם לחלופין נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה.

לפי משפט קנטור לקבוצת החזקה עוצמת הרצף אינה העוצמה המקסימלית וקיימות אינסוף עוצמות גדולות ממנה, לדוגמה עוצמת אוסף תתי הקבוצות של אוסף המספרים הממשיים או קבוצת הפונקציות הממשיות.

דוגמאות לקבוצות בעלות עוצמת הרצף

לקבוצות חשובות רבות במתמטיקה יש עוצמה השווה לעוצמת הרצף. כמה מן המוכרות ביותר:

• קבוצת כל המספרים הממשיים (הרצף)
• כל קטע של מספרים הממשיים שאינו מנוון
• קבוצת כל המספרים האי-רציונליים
• קבוצת המספרים הטרנסצנדנטיים (תכונה שהוכיח קנטור)
• המרחב האוקלידי ה-n ממדי
• קבוצת המספרים המרוכבים
• קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים, דהיינו קבוצת כל התת-קבוצות של המספרים הטבעיים
• קבוצת כל סדרות המספרים השלמים
• קבוצת כל הפונקציות הרציפות מן המספרים הממשיים לעצמם
• קבוצת קנטור
• הטופולוגיה האוקלידית על המרחב האוקלידי ה-n ממדי, דהיינו קבוצת כל הקבוצות הפתוחות בו