עקרון ד'אלמבר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

עקרון ד'אָלֶמְבֶּר (D'Alembert), הידוע גם כעקרון לגרנז'-ד'אלמבר (Lagrange–d'Alembert), הוא משפט על חוקי התנועה הבסיסיים של המכניקה הקלאסית. המשפט קרוי על שם מגלו, הפיזיקאי הצרפתי ז'אן לה-רון ד'אלמבר. העיקרון קובע כי סכום ההפרשים בין הכוחות הפועלים על המערכת לבין הנגזרת הזמנית של התנע לאורך כל העתקה וירטואלית המצייתת לאילוצי המערכת, הוא אפס. לפיכך, עקרון ד'אלמבר הוא:

\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0,
\mathbf {F}_i הם הכוחות המופעלים על המערכת,
\delta \mathbf r_i הם ההעתקים הווירטואלים המצייתים לאילוצי המערכת,
 m_i \scriptstyle הם מסות החלקיקים במערכת,
\mathbf a_i הם תאוצות החלקיקים במערכת,
m_i \mathbf a_i  ביחד מייצגים את הנגזרת הזמנית של התנע,
i הוא מספר טבעי המייצג משתנים השייכים לחלקיקים שונים.

משפט זה הוא המקביל הדינמי למשפט העבודה הווירטואלית והוא כללי יותר מעקרון המילטון, שכן הוא אינו מוגבל למערכות הולונומיות. הגבלה הולונומית היא הגבלה התלויה רק בקוארדינטות ובזמן.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

העתקה וירטואלית היא שינוי הקונפיגורציה של המערכת, כך שבניגוד להעתקה אמיתית של המערכת, הנעשית בזמן dt, העתקה וירטואלית נעשית מידית. כידוע מחוקי ניוטון, סכום הכוחות על חלקיק שווים לנגזרת הזמנית של התנע שלו:

F_i-\dot {p_i}=0

ומכאן נקבל מידית:

\sum_i (F_i-\dot {p_i})\delta {r_i}=0

קבלת משוואת אוילר לגרנז'[עריכת קוד מקור | עריכה]

נבדיל בין כוחות ממשיים {F_i}^{(a)} לכוחות אילוצים f_i:

\sum_i ({F_i}^{(a)}-\dot {p_i})\delta {r_i}+ \sum_i f_i\delta {r_i}=0

כאשר האיבר השני אשר עוסק בעבודה וירטואלית אשר מתבצעת על ידי כוחות אילוצים, חייב להתאפס. לדוגמה חלקיק המוגבל לנוע על משטח- כוחות האילוצים פועלים בהכרח בניצב למישור, בעוד ההעתקים הווירטואלים חייבים להיות משיקים לו. הטיפול שלנו לא מתייחס למערכות בהן פועלים כוחות כגון חיכוך לאורך המשטח. למרות זאת במקרים מסוימים, כמו גלגול ללא חיכוך, התנאי של אי קיום עבודה עדיין מתקיים.

אנו רוצים עכשיו לאפס בנפרד את המקדים של כל ההעתקות הווירטואליות, אך קיום האילוצים במערכת כופה תלות בין הקוארדינטות השונות. לכן נרצה לעבור לקוארדינטות מוכללות, בלתי תלויות אחת בשנייה.

נתאר את מעבר הקוארדינטות בעזרת מערכת משוואות:

r_i=r_i(q_1,q_2,...,q_n,t)

באופן כללי מספר הקוארדינטות המוכללות שונה ממספר הקוארדינטות הממשיות (כל אילוץ מוריד את מספר הקוארדינטות המוכללות הבלתי תלויות).
ההעתקה הווירטואלית \delta {r_i} קשורה להעתקה הווירטואלית \delta {q_i} על ידי:

\delta {r_i}=\sum_j \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \delta {q_j}

על ידי קשר זה נוכל להגדיר את הכוחות המוכללים Q_j

\sum_i F_i \delta {r_i}=\sum_{i,j} F_i \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \delta {q_j} = \sum_j Q_j \delta {q_j}

Q_j=\sum_i F_i \frac{\partial r_i}{\partial q_j}

שים לב כי היחידות הפיזיקליות של הכוחות המוכללים אינם חייבים להיות של כוח. המגבלה היחידה עליהם היא שהמכפלה שלהם עם הקוארדינטה המוכללת תהיה בעלת יחידות של עבודה.

עוד איבר במשוואה עוסק בעבודה הנעשית על ידי הכוחות המדומים. באופן דומה לכוחות המוכללים:

\sum_i \dot p_i \delta r_i = \sum_{i,j} m\ddot{r_i} \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \delta {q_j}
=\sum_{i,j} \frac{d}{dt}(m\dot{r_i} \frac{\partial r_i}{\partial q_j}) \delta {q_j} - \sum_{i,j} m\dot{r_i} \frac{d}{dt}(\frac{\partial r_i}{\partial q_j}) \delta {q_j}

נוכל לבטא את המהירויות:

v_i=\frac{dr_i}{dt}=\sum_j \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \dot {q_j} + \frac{\partial r_i}{\partial t}

נזכור כי r_i אינם תלויים באופן מפורש ב \dot q_j ולכן:

\frac{\partial v_i}{\partial \dot {q_j}}=\frac{\partial r_i}{\partial q_j}

בנוסף לכך:

\frac{d}{dt} \frac{\partial r_i}{\partial q_j}= \sum_k \frac{\partial^2 r_i}{\partial q_j \partial q_k} \dot q_k + \frac{\partial^2 r_i}{\partial q_j \partial t}=
\frac{\partial}{\partial q_j} \frac{dr_i}{dt}

נציב ביטוים אלו באיבר התנע ונפתח:


=\sum_{i,j} \frac{d}{dt}(m\dot{r_i} \frac{\partial r_i}{\partial q_j}) \delta {q_j} -
\sum_{i,j} m\dot{r_i} \frac{d}{dt}(\frac{\partial r_i}{\partial q_j}) \delta {q_j}=
\sum_{i,j} \frac{d}{dt}(mv_i \frac{\partial v_i}{\partial \dot {q_j}}) \delta {q_j} -
\sum_{i,j} mv_i \frac{\partial v_i}{\partial q_j} \delta {q_j}=
\sum_{i,j} \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m \frac{\partial {v_i}^2}{\partial \dot {q_j}}) \delta {q_j} -
\sum_{i,j} \frac{1}{2}m \frac{\partial {v_i}^2}{\partial q_j} \delta {q_j}=

=\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot {q_j}}) \delta {q_j} -
 \frac{\partial T}{\partial q_j} \delta {q_j}

כאשר T היא האנרגיה הקינטית מבוטאת בקוארדינטות המוכללות.

אם הכוח במערכת הוא משמר, ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית סקלרית אשר מקיימת:

F_i=-\frac{\partial V}{\partial r_i}

לכן בקוארדינטות מוכללות איבר הכוחות נראה כך:

\sum_{i,j} -\frac{\partial V}{\partial r_i} \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \delta {q_j}=
\sum_{j} -\frac{\partial V}{\partial q_j} \delta {q_j}

והכוח המוכלל ניתן על ידי:

Q_i=-\frac{\partial V}{\partial q_j}

נסכום את האיברים:

\sum_{j} (\frac{\partial (T-V)}{\partial q_j}-\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot {q_j}}) \delta {q_j}=0

כאשר \delta {q_j} הם העתקים וירטואלים שרירותיים. לכן מתקיים לכל איבר בסכום:

\frac{\partial (T-V)}{\partial q_j}-\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot {q_j}}=0

ברוב הבעיות האנרגיה הפוטנציאלית אינה תלויה ב\dot q_i. לכן על ידי הוספת איבר שמתאפס נוכל לבטא מחדש את המשוואה כ:

\frac{\partial (T-V)}{\partial q_j}-\frac{d}{dt} \frac{\partial (T-V)}{\partial \dot {q_j}}=0

נגדיר את פונקציית הלגרנז'יאן כ

L=T-V

ובכך קיבלנו את משוואת אוילר לגרנז':

\frac{\partial L}{\partial q_j}-\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot {q_j}}=0