פולינומי הרמיט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פולינומי הרמיט, על שמו של המתמטיקאי שארל הרמיט, הם סדרה (אינסופית) של פולינומים אורתוגונליים רציפים המשמש בעיקר בפיזיקה (פתרון לאוסצילטור הרמוני קוונטי ופתרון משוואת הגלים עבור אלומת לייזר) ובקומבינטוריקה.

מבחינה מתמטית, הפולינומים הינם פתרונות למשוואה הדיפרנציאלית \ {d^2y \over dx^2}-2x{dy \over dx}+2ny=0  עבור תחום ההגדרה \ -\infty\leq x \leq\infty , והם מוגדרים באופן הבא: \ H_n(x)={(-1)^n}{e^{x^2}}{d^n \over dx^n}{e^{-x^2}}

לכאורה פונקציית בסל מהווה פתרון למשוואות מסוג זה, אולם יש לשים לב כי המקדם \ (bc)^2 בהגדרתה שווה למספר שלילי.

חמשת פולינומי הרמיט הראשונים

שבעת פולינומי הרמיט הראשונים:

H_0(x)=1\,
H_1(x)=2x\,
H_2(x)=4x^2-2\,
H_3(x)=8x^3-12x\,
H_4(x)=16x^4-48x^2+12\,
H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,
H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\,

תכונות ומאפיינים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אורתוגונליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קל לראות כי ניתן להציג את המשוואה הדיפרנציאלית שלעיל כאופרטור שטורם-ליוביל: \ {d \over dx} [e^{-x^2}{dy \over dx}]={e^{-x^2}}2ny , ולכן על פי תורת שטורם ליוביל פולינומי הרמיט הינם מערכת אורתוגונלית: \int\limits_{ - \infty }^\infty {H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx}= \delta_{n,m}(x) A_n  כאשר \ A_n נתון על ידי \ A_n=\int\limits_{ - \infty }^\infty {H_n^2(x)e^{-x^2}dx}=\sqrt {\pi} 2^n n!

בשל תכונת האורתוגונליות של הפולינומים, ניתן לפתח כל פונקציה לטור פונקציות על בסיסו:

\ f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty{C_n H_n(x)}

כאשר את המקדם \ C_n ניתן לחשב על ידי \ C_n=\int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x) H_n(x)e^{-x^2}dx}

פונקציה יוצרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה היוצרת, דהיינו פונקציה של שני משתנים ממנה ניתן ליצור את \ H_n(x) על ידי \ n גזירות היא

\ \Phi(x,h)=e^{2xh-h^2}=\sum\limits_{n=0}^\infty{H_n(x){h^n\over{n!}}}

כאשר כדי ליצור פולינום הרמיט מסדר \ n, יש לגזור את הפונקציה היוצרת \ n פעמים ולהציב \ h=0 .

יחסי רקורסיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להגדיר את פולינום הרמיט מסדר \ n באמצעות יחס הרקורסיה: \ H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)

הצגה אינטגרבילית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצגה אינטגרבילית של פולינום הרמיט: \ H_n(x)=\sqrt{2n\over \pi}\int\limits_{ - \infty }^\infty {(x+it)^n e^{-t^2}dt}

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

פולינומי הרמיט מופיעים באוסצילטור הרמוני קוונטי שם הפונקציות העצמיות הן

 \left\langle x | \psi_n \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \hbox{exp}
\left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)
כאשר n הוא מספר טבעי (כלומר 0, 1, 2, ...).

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]