פולינומי לז'נדר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, פולינומי לז'נדר הם פולינומים אורתוגונלים המהווים את סדרת הפתרונות למשוואת לז'נדר:

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0.

הפולינומים נקראים על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר. המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות הללו מופיעות באופן טבעי במגוון בעיות פיזיקליות, בפרט, בפתרון משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות.

למשוואה זו נקודות סינגולריות רגולריות (Regular Singular Point) ב-x=\pm1, והיא ניתנת לפתרון בשיטת טור חזקות (שיטת פרובניוס). הנירמול הסטנדרטי הוא: \ P_n(1)=1.

את הפולינום ה-n ניתן לחשב באמצעות נוסחת רודריגז:

P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].

פולינומי לז'נדר הראשונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

להלן רשימת אחד עשר הפולינומים הראשונים (כלומר, עד n=10):

n P_n(x)\,
0 1\,
1 x\,
2 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,
3 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,
4 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,
5 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,
6 \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,
7 \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,
8 \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,
9 \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,
10 \begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,

להלן גרף של ששת הפולינומים הראשונים, בתחום 1>|x|.

Legendre poly.svg

תכונות ומאפיינים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אורתוגונליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

סדרות רבות של פונקציות המהוות פתרון למשוואה דיפרנציאלית מקיימות תנאי אורתוגונליות עבור מכפלה פנימית מסוימת (מרחב הילברט). לרוב, לכל סדרת פונקציות בנפרד יש מכפלה פנימית שונה עבורה הסדרה אורתוגונלית. המכפלה הפנימית עבורה פולינומי לז'נדר הם אורתוגונלים נתונה על ידי:

\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}

כאשר \ \delta היא הדלתא של קרונקר.

ניתן להגיע אל הפולינומים בעזרת תהליך גרם-שמידט עבור חזקות שלמות של \ x לפי המכפלה הפנימית שהוגדרה.

פונקציה יוצרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה היוצרת, של פולינומי לז'נדר היא: 
\frac{1}{\sqrt{1 + \eta^{2} - 2\eta x}} = \sum_{k=0}^{\infty} \eta^{k} P_{k}(x)

יחסי רקורסיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בנוסף לנוסחת חישוב כללית (המצריכה בעצם פעולת צעד-צעד, היות שצריך לחשב נגזרות מסדרים גבוהים), ישנה אפשרות לחשב את פולינומי לז'נדר בעזרת נוסחת רקורסיה, כלומר, נוסחה המחשבת את הפולינום מסדר מסוים כתוצאה משני הפולינומים שלפניו. נוסחת הרקורסיה נתונה על ידי:

P_{n}(x)=\frac{1}{n}((2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x))\,

הצגה אינטגרבילית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצגה אינטגרבילית של פולינום לז'נדר: P_{n}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int(1-2tz+t^{2})^{1/2}t^{-n-1}dt

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

פולינומי לז'נדר שימושיים מאוד בפיזיקה ומשמשים למגוון חישובים. הידועים שבהם הם בתחום האלקטרוסטטיקה ותורת הקוונטים.


\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta)

כאשר המקדמים A_\ell ו - B_\ell יקבעו בהתאם לתנאי השפה של הבעיה.

Point axial multipole.svg
  • כאשר רוצים לחשב את הפוטנציאל החשמלי של מטען נקודתי אשר איננו נמצא בראשית מערכת צירים (במערכת קורדינאטות כדורית), ניתן לחשבו בעזרת (שימו לב שמדובר בפרופורציוניות ולא בשיויון):


\Phi (r, \theta ) \propto \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{r^{2} + a^{2} - 2ar \cos\theta}}.

את הפונקציה הזו ניתן לחשב בעזרת פולינומי לז'נדר לפי הצורה הבאה: 
\Phi(r, \theta) \propto
\frac{1}{r} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{a}{r} \right)^{k} 
P_{k}(\cos \theta)

  • פולינומי לז'נדר משמשים גם כפתרון לחלק הזוויתי (הזווית הנפתחת מציר ה-z) של משוואת שרדינגר עבור מקרה של פוטנציאל מרכזי. במקרה זה, ישנה גם תלות במרחק מהראשית r וכן בזווית סביב ציר z (החלק האזימותלי). את התלות המשותפת בשתי הזוויות ניתן להציג בעזרת הרמוניות ספריות.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]