פולינומי צ'בישב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
T1, T2, T3, T4, T5

סדרת פולינומי צ'בישב כוללת פולינומים בעלי מקדמים שלמים, \ T_0(x), T_1(x), \dots, המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח פפנוטי צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן \ p(x) מקיים את אי-השוויון \ \max_{-1\leq x \leq 1} |p(x)|\geq 2^{1-n}, והפולינומים \ 2^{1-n}T_n(x) הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון. הפולינומים קרויים על-שמו של צ'בישב.

ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:

 T_0(x) = 1
 T_1(x) = x
 T_2(x) = 2x^2 - 1
 T_3(x) = 4x^3 - 3x

הגדרה ותכונות יסוד[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה \ T_n(\cos \theta)=\cos(n\theta). לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית: T_0(x) = 1 \,\!, T_1(x) = x \,\! ו- T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,\!. מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה-\ n-י היא \ n.

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

T_n(x) = 
\begin{cases}
\cos(n\arccos(x)), & \ x \in [-1,1] \\
\cosh(n \, \mathrm{arccosh}(x)), & \ x \ge 1 \\
(-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(-x)), & \ x \le -1 \\
\end{cases} \,\!

מן ההגדרה נובע ש-

T_n(T_m(x)) = T_{n\cdot m}(x)\,\!,

וכן

T_n(1) = 1, \qquad T_n(-1) = (-1)^n,\qquad  T_{2n+1}(0) = 0,\qquad T_{2n}(0) = (-1)^n\,.

באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה

T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2-1)^k x^{n-2k}

ולקבל את הפונקציה היוצרת

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.

מתקיים גם השוויון T_n(x) = 1+n^2 {(x-1)} \prod_{k=1}^{n-1} \left( { 1+{{{x-1}}\over 2 \sin^2\left({k \pi \over n}\right)}}\right).

פולינומי צ'ביצ'ב \left\{ T_n \right\}_{n=0}^\infty מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת  \langle f_1,f_2 \rangle = \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  f_1(x)f_2(x)\,dx.

השלכות לבניות גאומטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכך שמעלת \ T_n היא n נובע כי \ \cos(\theta) פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה \ \mathbb{Q}[\cos(n\theta)], ובפרט הממד \ [\mathbb{Q}[\cos(\theta)] : \mathbb{Q}[\cos(n\theta)]] \leq n. אם בוחרים \ \theta = \frac{\pi}{2n} מתקבל \ T_n(\cos \theta) = 0, ולעתים קרובות \ T_n הוא הפולינום המינימלי של \ \cos(\frac{\pi}{2n}).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]