פולינומי צ'בישב

T₁, T₂, T₃, T₄, T₅

סדרת פולינומי צ'בישב כוללת פולינומים בעלי מקדמים שלמים, $\ T_0(x), T_1(x), \dots$, המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח פפנוטי צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן $\ p(x)$ מקיים את אי-השוויון $\ \max_{-1\leq x \leq 1} |p(x)|\geq 2^{1-n}$, והפולינומים $\ 2^{1-n}T_n(x)$ הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון. הפולינומים קרויים על-שמו של צ'בישב.

ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:

$T_0(x) = 1$

$T_1(x) = x$

$T_2(x) = 2x^2 - 1$

$T_3(x) = 4x^3 - 3x$

הגדרה ותכונות יסוד

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה $\ T_n(\cos \theta)=\cos(n\theta)$. לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית: $T_0(x) = 1 \,\!$, $T_1(x) = x \,\!$ ו- $T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,\!$. מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה-$\ n$-י היא $\ n$.

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

$T_n(x) = \begin{cases} \cos(n\arccos(x)), & \ x \in [-1,1] \\ \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(x)), & \ x \ge 1 \\ (-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(-x)), & \ x \le -1 \\ \end{cases} \,\!$

מן ההגדרה נובע ש-

$T_n(T_m(x)) = T_{n\cdot m}(x)\,\!$,

וכן

$T_n(1) = 1\,$, $T_n(-1) = (-1)^n\,$, $T_{2n+1}(0) = 0\,$ ו- $T_{2n}(0) = (-1)^n\,$.

באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה

$T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2-1)^k x^{n-2k}$

ולקבל את הפונקציה היוצרת

$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}\,\!$

מתקיים גם השוויון $T_n(x) = 1+n^2 {(x-1)} \prod_{k=1}^{n-1} \left( { 1+{{{x-1}}\over 2 \sin^2\left({k \pi \over n}\right)}}\right)$.

השלכות לבניות גאומטריות

מכך שמעלת $\ T_n$ היא n נובע כי $\ \cos(\theta)$ פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה $\ \mathbb{Q}[\cos(n\theta)]$, ובפרט הממד $\ [\mathbb{Q}[\cos(\theta)] : \mathbb{Q}[\cos(n\theta)]] \leq n$. אם בוחרים $\ \theta = \frac{\pi}{2n}$ מתקבל $\ T_n(\cos \theta) = 0$, ולעתים קרובות $\ T_n$ הוא הפולינום המינימלי של $\ \cos(\frac{\pi}{2n})$.

ראו גם

• מסנני צ'בישב