פונקטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, פונקטור הוא סוג מיוחד של העתקה בין קטגוריות.

פונקטורים הוגדרו לראשונה בטופולוגיה אלגברית, שם שויכו מבנים אלגבריים למרחבים טופולוגיים (למשל החבורה היסודית), והומומורפיזמים אלגבריים שויכו לפונקציות רציפות. כיום, פונקטורים קיימים בכל תחומי המתמטיקה, והם מאפשרים ליצור קשרים בין תחומים מתמטיים שונים.

את המונח טבע רודולף קרנפ, והוא אומץ על ידי אחד ממייסדי תורת הקטגוריות, סאונדרס מק'ליין.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו \mathcal{C} ו- \mathcal{D} שתי קטגוריות. פונקטור קו-וריאנטי F מ-\mathcal{C} ל-\mathcal{D} הוא המידע הבא:

  • לכל אובייקט X \in \mathcal{C} קיים אובייקט FX \in \mathcal{D}.
  • לכל מורפיזם f:X \rightarrow Y ב-\mathcal{C} יש מורפיזם F(f) : F(X) \rightarrow F(Y) ב-\mathcal{D}.

כך שהתכונות הבאות מתקיימות:

  • לכל אובייקט X \in Ob(\mathcal{C}) המורפיזם \ F(1_X) הוא מורפיזם הזהות של FX.
  • לכל זוג מורפיזמים f:X \rightarrow Y ו-g:Y \rightarrow Z מתקיים F(g \circ f) = F(g) \circ F(f).

במילים אחרות, הפונקטור משמר את מורפיזם הזהות ואת פעולת הרכבת המורפיזמים.

העתקה בין שתי קטגוריות G:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D} המקיימת את כל התכונות של פונקטור, פרט לכך שעבור מורפיזמים היא פועלת בכיוון ההפוך,

  • לכל מורפיזם f:X \rightarrow Y ב-\mathcal{C} יש מורפיזם G(f) : G(Y) \rightarrow G(X) ב-\mathcal{D}.
  • לכל זוג מורפיזמים f:X \rightarrow Y ו-g:Y \rightarrow Z מתקיים G(g \circ f) = G(f) \circ G(g)

נקראת פונקטור קונטרה-וריאנטי.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • ההעתקה F: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set} מקטגורית החבורות לקטגורית הקבוצות, המעתיקה חבורה לקבוצת האיברים שלה, ומעתיקה הומומורפיזם בין חבורות למורפיזם בין קבוצות המגדיר אותו, הוא פנקטור קווריאנטי. פונקטורים מהצורה הזאת, אשר שוכחים חלק מהמבנה של האובייקטים והמורפיזמים בקטגוריה, נקראים פונקטורים שוכחים.
  • ההעתקה המתאימה לכל מרחב וקטורי את המרחב הדואלי לו, ולכל העתקה לינארית את ההעתקה הצמודה לה היא פונקטור קונטרה וריאנטי מהקטגוריה של מרחבים וקטורים לעצמה.

פונקטור נאמן ומלא[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו \mathcal{C} ו-\mathcal{D} קטגוריות קטנות מקומית (כלומר: אוסף המורפיזמים בין כל שני עצמים בקטגוריה הוא קבוצה קטנה). יהי F : \mathcal{C} \to \mathcal{D} פונקטור נ-\mathcal{C} ל-\mathcal{D}. הפונקטור F משרה פונקציה בין קבוצות

F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))

לכל זוג עצמים X ו-Y ב-\mathcal{C}.

הפונקטור נקרא:


העתקה טבעית[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור שני פונקטורים F,G:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}, העתקה טבעית \eta:F\rightarrow G מתאימה לכל אובייקט X\in \mathcal{C} מורפיזם \eta_X :F(X)\rightarrow G(X) כך שלכל מורפיזם f:X\rightarrow Y ב \mathcal{C} מתקיים ש \eta_Y \circ F(f) = G(f) \circ \eta_X.

התנאי הזה שקול לכך שהדיאגרמה הבאה קומוטטיבית

Natural transformation.svg

אם לכל X ההעתקה \eta_X היא איזומורפיזם ב D, אז ההעתקה נקראת איזומורפיזם טבעי והפנקטורים F,G נקראים איזומורפים.

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.