פונקציה דיפרנציאבילית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, פונקציה דיפרנציאבילית היא פונקציה ממשית בכמה משתנים, שיש לה קירוב לינארי (דיפרנציאל).

פונקציה דיפרנציאבילית במשתנה אחד אינה אלא פונקציה גזירה. עם זאת, בפונקציות של כמה משתנים, אלו הן תכונות שונות: לפונקציה יכולה להיות נגזרת (שאינה אלא וקטור הנגזרות החלקיות) גם אם היא אינה דיפרנציאבילית.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} פונקציה ב\!\, n משתנים. נגיד שהפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה x^0=\left(x^0_1,\dots,x^0_n\right) אם אפשר לכתוב \ f(x^0_1+\Delta x_1,\dots,x^0_n+\Delta x_n)= f(x^0_1,\dots,x^0_n)+\sum_{i=1}^{n}(A_i + \alpha_i(x))\cdot\Delta x_i, כאשר \!\, A_1,\dots,A_n קבועים, ו-\!\, \alpha_1,\dots,\alpha_n פונקציות השואפות לאפס כאשר \!\, \Delta x שואף לאפס.

פירוש ההגדרה הוא כדלהלן: בסביבות הנקודה \!\, x^0 אפשר לייצג את הפונקציה בקירוב טוב בתור פונקציה לינארית ב-\!\, n משתנים, כשהמקדמים הם \!\, A_1,\dots,A_n. זהו "קירוב טוב" כי השאריות (הפונקציות \!\, \alpha_1,\dots,\alpha_n) קטנות מאוד יחסית לחלק הלינארי של הפונקציה.

משפטים העוסקים בדיפרנציאביליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם פונקציה היא דיפרנציאבילית בנקודה, אז היא רציפה שם, יש לה נגזרות חלקיות, והמקדמים \!\, A_1,\dots,A_n בקירוב הלינארי אינם אלא הנגזרות החלקיות של הפונקציה: \!\, A_k=\frac{\partial f}{\partial x_k}(x^0).

קיומן של נגזרות חלקיות אינו מבטיח שהפונקציה תהיה דיפרנציאבילית (או אפילו רציפה). מאידך, אם הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות, אז הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה זו.