פונקציה הולומורפית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פונקציה הולומורפית היא האובייקט המרכזי שנחקר במסגרת האנליזה המרוכבת. זוהי פונקציה המוגדרת על קבוצה קשירה ופתוחה במישור המרוכב ומקבלת ערכים במישור המרוכב, ותכונתה שהיא גזירה במובן המרוכב בכל נקודה. קיומה של נגזרת מרוכבת הוא תנאי חזק יותר מגזירות של פונקציות ממשיות, ומקיומו נובע שהפונקציה גזירה במובן המרוכב אינסוף פעמים וניתנת לתיאור באמצעות טור טיילור. בפרט, כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית; גם המשפט ההפוך נכון - כל פונקציה אנליטית מרוכבת היא הולומורפית, ובמסגרת האנליזה המרוכבת משתמשים בשני המושגים באותה משמעות. בנוסף, לפעמים קוראים לפונקציות הולומורפיות בשם פונקציות רגולריות.

פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב נקראת פונקציה שלמה. כאשר אומרים על פונקציה שהיא "הולומורפית בנקודה", הכוונה היא שהיא גזירה בסביבה של הנקודה.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ U\subseteq\mathbb{C} קבוצה קשירה ופתוחה במישור המרוכב. תהא \ f:U\rarr\mathbb{C} פונקציה מרוכבת. נאמר ש-\ f גזירה במובן המרוכב בנקודה \ z_0\isin U אם הגבול \ f'(z_0)=\lim_{z\rarr z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} קיים (נשים לב שכאן הגבול נלקח על כל סדרה של מספרים מרוכבים ששואפת ל-\ z_0).

תנאי הכרחי ומספיק לקיום של גבול כזה נתון על ידי משוואות קושי רימן, ותכונת הדיפרנציאביליות של הפונקציות הממשיות שמרכיבות את \ f.

אם הפונקציה \ f גזירה בכל נקודה \ z_0\isin U, נאמר עליה שהיא הולומורפית בקבוצה \ U. ניסוח נקודתי שקול להולומורפיות הוא: \ f היא הולומורפית בנקודה \ z_0 אם היא גזירה ב-\ z_0 ובסביבה של \ z_0. שקילות שני הניסוחים נובעת מהגדרת קבוצה פתוחה: לכל נקודה בקבוצה הפתוחה קיימת סביבה המוכלת באותה קבוצה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל פולינום במספרים מרוכבים הוא פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב, וכך גם פונקציית האקספוננט \ e^z, ופונקציות הסינוס והקוסינוס המרוכבות (הניתנות להגדרה באמצעות האקספוננט). הפולינומים ופונקציית האקספוננט הן פונקציות שלמות. דוגמאות פחות טריביאליות לפונקציות הולומורפיות הן פונקציית זטא של רימן, או פונקציית גמא. בניגוד לפולינומים ולאקספוננט, פונקציות אלה אינן שלמות, ויש להן קטבים.

כיוון שהתנאי לגזירות במובן המרוכב חזק יותר מגזירות במובן הממשי, קיימות פונקציות "יפות" שאינן הולומורפיות, בניגוד לאינטואיציה הממשית. דוגמאות בולטות הן  \ z \mapsto \mbox{Re} (z), z \mapsto \mbox{Im}(z), z \mapsto \bar z. דוגמה נוספת היא הפונקציה \textstyle z \mapsto \frac{1}{z}. פונקציה זו הולומורפית בכל תחום הגדרתה, אך היא אינה הולמורפית בנקודה \ z_0=0, (וגם אינה מוגדרת בה). בכל נקודה אחרת היא גזירה, ולכן היא הולומורפית בקבוצה \ \mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}. עם זאת, קיים הגבול \lim_{z \to 0} \textstyle \frac{1}{z} = \infty ולכן הפונקציה מתנהגת יפה, במובן מסוים. נקודה שבה הגבול הוא אינסוף נקראת קוטב. פונקציה, אשר בתחום מקיימת שהיא הולומורפית בכל נקודה, או שהנקודה היא קוטב, נקראת מרומורפית בתחום.

קיימות גם פונקציות שאינן גזירות במובן חזק יותר. לדוגמה, לפונקציה \ e^{\frac{1}{z} } אין כלל גבול בנקודה \ z=0. נקודה כזו נקראת סינגולריות עיקרית, והיא מקיימת תכונה מעניינת - לפי המשפט הגדול של פיקארד, אם \ f פונקציה הולומורפית בתחום, ו  \ z_0 סינגולריות עיקרית בתחום, אזי התמונה של כל סביבה של  \ z_0 היא \mathbb{C} כולה, למעט אולי נקודה אחת.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדגמה של תכונת הקונפורמיות. מוצגות שתי מסילות ישרות ותמונותיהן תחת ההעתקה  f(z) = i \cdot z^3. ניתן לראות כי בנקודת המפגש הזווית בין המסילות המקוריות שווה לזווית בין תמונותיהן
  • פונקציה הולומורפית היא רציפה.
  • סכום, מכפלה והרכבה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית.
  • מנה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית בתנאי שהמכנה אינו מתאפס.
  • כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית: היא גזירה אינסוף פעמים וניתנת לתיאור על ידי טור טיילור.
  • ערכיה של פונקציה הולומורפית בתחום כלשהו (כולל שפתו) נקבעים בצורה יחידה על ידי הערכים שהפונקציה מקבלת על שפת התחום. זאת לפי נוסחת האינטגרל של קושי.
  • פונקציה הולומורפית נקבעת בכל התחום על פי ערכיה בקבוצה עם נקודת הצטברות. זהו משפט היחידות.
  • פונקציה הולומורפית שנגזרתה אינה מתאפסת בנקודה מסוימת היא קונפורמית - היא שומרת את הזווית בין עקומים שהיא מעתיקה. בצורה יותר כללית: אם כל הנגזרות שלה עד לנגזרת ה-\ n מתאפסות (לא כולל), היא מכפילה את הזווית בין העקומים שהיא מעתיקה פי \ n.
  • עקרון המקסימום - פונקציה הולומורפית לא קבועה בתחום פתוח לא יכולה לקבל מקסימום (בערך מוחלט) בפנים התחום, אלא רק על שפתו.

אנליטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונה מרכזית של פונקציות הולומורפיות היא אנליטיות. תכונה זו נובעת מנוסחת האינטגרל של קושי. די להראות זאת סביב 0. אם f הולומורפית בעיגול D, אז לפי נוסחת האינטגרל של קושי, לכל z בפנים של D:

f(z) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(w) \over w-z}\, dw

מכיוון ש-|z/w|<1 את האינטגרנד אפשר לפתח לטור הנדסי ולקבל:

f(z) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(w) \over w-z}\, dw = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} f(w)\sum_{n=0}^\infty{z^n \over w^{n+1}}\, dw = \sum_{n=0}^\infty {z^n \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(w) \over w^{n+1}}\, dw

כאשר ההתכנסות מובטחת ממבחן M של ויירשטראס. לפי נוסחת האינטגרל של קושי לנגזרת מקבלים:

f(z) = \sum_{n=0}^\infty {z^n \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(w) \over w^{n+1}}\, dw = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n

כלומר טור טיילור של f מתכנס אליה.

הערה[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן אנלוגי לאמור לעיל, פונקציה מרוכבת בכמה משתנים ההולומורפית ביחס לכל משתנה בנפרד נקראת גם היא פונקציה הולומורפית. גם במקרה זה ניתן להוכיח שפונקציה הולומורפית בכמה משתנים היא אנליטית (משפט הארטוגס).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


אנליזה מרוכבת

מספר מרוכבשדה המספרים המרוכביםפונקציה מרוכבתפונקציה הולומורפיתפונקציה שלמהנוסחת אוילרמשוואות קושי-רימןמשפט אינטגרל קושינוסחת אינטגרל קושימשפט ליובילהמשפט היסודי של האלגברהטור לורןסינגולריותקוטבמשפט השאריותעקרון הארגומנטמשפט רושה

אנליזה מתמטיתחשבון אינפיניטסימליאנליזה וקטוריתטופולוגיהאנליזה מרוכבתאנליזה פונקציונליתתורת המידה