פונקציה יוצרת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה יוצרת היא כלי המשמש לטיפול בסדרות של מספרים, בדרך של איחודן לאובייקט אלגברי ואנליטי אחד, שממנו אפשר לקרוא את הסדרה כולה. הפונקציה היוצרת הסטנדרטית של הסדרה \ a_0,a_1,a_2,\dots היא הטור \ a_0+a_1x+a_2x^2+\dots, כאשר \ x הוא משתנה. מוגדרות גם פונקציות יוצרות מסוגים אחרים, בהתאם לשימוש הרצוי.

בשימושים קומבינטוריים מתייחסים לפונקציה היוצרת כאל אובייקט פורמלי, המוגדר גם כאשר הטור אינו מתכנס; הפונקציה אינה אלא "חבל כביסה, עליו אנו תולים סדרת מספרים לתצוגה" ‏[1]. במקרים אחרים, ובפרט בתורת המספרים האנליטית, משחקות התכונות האנליטיות של הפונקציה היוצרת תפקיד מרכזי. דוגמאות בולטת לפונקציות יוצרות בהקשר זה הן פונקציות זטא מסוגים שונים, ופונקציות תטא של תבניות ריבועיות.

סוגים של פונקציות יוצרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \ \left\{a_n\right\}_{n=0}^\infty סדרה של מספרים.

  1. הפונקציה היוצרת הסטנדרטית של הסדרה (ולפעמים סתם "פונקציה יוצרת") היא טור החזקות \ G(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n. בפונקציות כאלה משתמשים בקומבינטוריקה, וגם בתורת ההסתברות: אם X הוא משתנה מקרי שערכיו טבעיים (למשל, מספר השחפים המבקרים חופי אגם מסוים במשך יום), מצמידים לו פונקציה יוצרת לפי הנוסחה \ G_X(x)=\sum_{n=0}^{\infty}Pr(X=n)x^n. במקרה כזה \ G_X(1)=1, ומן הנגזרות של \ G_X אפשר לקרוא את המומנטים: \ G_X'(1) שווה לתוחלת של X, ובאופן כללי \ G^{(k)}(1) שווה לתוחלת של \ \frac{X!}{(X-k)!}. הפונקציה היוצרת הצמודה לסכום \ X+Y שווה למכפלת הפונקציות היוצרות: \ G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t).
    רעיונות אלה ניתנים להכללה גם למספר רב של משתנים. למשל, הפונקציה היוצרת הסטנדרטית הצמודה למערך \ a_{n,m} היא הפונקציה בשני משתנים, \ G(x,y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}a_{m,n}x^my^n.
  2. פונקציה יוצרת אקספוננציאלית: EG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}. מפונקציה כזו אפשר לקרוא ישירות את אברי הסדרה, על ידי גזירה n פעמים והצבת 0: \ a_n=EG^{(n)}(0). הנגזרת של הפונקציה המתאימה לסדרה \ a_0,a_1,a_2,\dots היא הפונקציה המתאימה לסדרה המוזזת \ a_1,a_2,a_3,\dots.
  3. פונקציית דיריכלה. \ F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}.
  4. פונקציה יוצרת פואסונית. PG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n e^{-x} \frac{x^n}{n!}, המשקללת את ערכי הסדרה עם ההסתברויות בהתפלגות פואסון.
  5. סדרת לאמברט. LG(x)=\sum _{n=1}^{\infty} a_n \frac{x^n}{1-x^n}.
  6. סדרת בל f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n, משמשת בתורת המספרים האלמנטרית, במיוחד כאשר f הינה פונקציה אריתמטית ו־p מספר ראשוני.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ הרברט וילף, Generatingfunctionology