פונקציה מדידה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, בתחום תורת המידה, פונקציה מדידה היא פונקציה שהתחום והטווח שלה הם מרחבים מדידים, והמקור תחת הפונקציה של קבוצה מדידה, הוא קבוצה מדידה. בניסוח פורמלי, אם \ (X,\mathcal{M}_X), (Y,\mathcal{M}_Y) הם מרחבים מדידים, אז \ f:(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(Y,\mathcal{M}_Y) היא פונקציה מדידה אם \ \forall V \in \mathcal{M}_y \ : \ f^{-1}(V) \in \mathcal{M}_x.

אם נתון מרחב טופולוגי \ X , ניתן להתייחס אליו בתור מרחב מידה עם אלגברת בורל, כלומר, קבוצת הפונקציות המדידות היא ה \ \sigma-אלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות.

לפונקציות אלה חשיבות רבה בתורת המידה ובאנליזה מתמטית, מכיוון שהן המועמדות היחידות להיות אינטגרביליות, ומסיבות דומות - גם בתורת ההסתברות (משתנים מקריים הם פונקציות מדידות ביחס מרחבי הסתברות ולישר הממשי, בהתאמה). ההרכבה של פונקציה מדידה על פונקציה רציפה, היא פונקציה מדידה.

מקרים מיוחדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • פונקציה מדידה \ f:(X,\mathcal{B}_X)\rightarrow(Y,\mathcal{B}_Y) נקראת מדידת בורל כאשר \ \mathcal{B}_X, \mathcal{B}_Y הן אלגבראות בורל. כל פונקציה רציפה היא מדידת בורל, אך לא כל פונקציה מדידת בורל היא פונקציה רציפה.
  • פונקציה מדידה \ f:(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n)\rightarrow(\mathbb{R},\mathcal{B}) נקראת מדידת לבג אם \mathcal{B} אלגברת בורל ו \mathcal{L}_n היא סיגמה אלגברה של לבג.
  • תהא f פונקציה \ f:(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(\mathbb{R},\mathcal{B}), אז הפונקציה מדידה אם מתקיים אחד התנאים הבאים
  1. לכל t\in\mathbb{R} הקבוצה \{x\in X \mid f(x)>t \} מדידה
  2. לכל t\in\mathbb{R} הקבוצה \{x\in X \mid f(x)\geq t \} מדידה
  3. לכל t\in\mathbb{R} הקבוצה \{x\in X \mid f(x)<t \} מדידה
  4. לכל t\in\mathbb{R} הקבוצה \{x\in X \mid f(x)\leq t \} מדידה
  5. לכל U\in\mathcal{B} הקבוצה \ f^{-1}(U) מדידה

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם הפונקציות \ g:(Y,\mathcal{M}_Y)\rightarrow(Z,\mathcal{M}_Y), \ f:(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(Y,\mathcal{M}_Y) מדידות, אז ההרכבה שלהן g\circ f היא פונקציה מדידה.
  • אם \ f,g:(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(\mathbb{R},\mathcal{B}) מדידות, אז הסכום והכפל שלהן מדיד. אם \forall x\in X , g(x)\neq 0 אז גם הפונקציה \frac{f}{g} מדידה.
  • אם \ f_n:(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(\mathbb{R},\mathcal{B}) מדידות אז גם \sup_n f_n,\; \inf_n f_n,\; \limsup_n f_n, \; \liminf_n f_n מדידות. אם קיים הגבול, אז גם \lim_n f_n מדידה.

קירוב של פונקציה מדידה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה פשוטה היא פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים. יהא \ X מרחב ו \{A_k \}_1 ^n קבוצות זרות במרחב, אז פונקציה ממשית פשוטה היא פונקציה מהצורה

\ s(x)=\sum _1 ^n \alpha_k \chi_{A_k}(x)

כאשר \chi_{A_k} היא הפונקציה מציינת. אם \ (X, \mathcal{M}_X) מרחב מדיד ו \ A_k קבוצות מדידות, אז \ s(x) נקראת פונקציה מדידה פשוטה.

משפט: לכל פונקציה מדידה \ f:(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(\mathbb{R},\mathcal{B}), קיימת סדרה \ s_n\ :(X,\mathcal{M}_X)\rightarrow(\mathbb{R},\mathcal{B}) של פונקציות פשוטות מדידות, כך ש \ \lim_{n\rightarrow\infty} s_n = f נקודתית. אם \ f\geq 0 ניתן לבחור את הסדרה כך ש 0 \leq s_n \leq s_{n+1} ובאופן כללי ניתן לבחור את הסדרה כך ש 0 \leq |s_n| \leq |s_{n+1}|

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]