פונקציה מרומורפית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פונקציה מֶ‏רוֹ‏מורפית היא פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב מלבד בנקודות בקבוצה של קטבים מבודדים. כל פונקציה כזו יכולה להירשם כיחס של שתי פונקציות הולומורפיות כאשר הפונקציה שבמכנה היא לא הקבוע אפס. להפך, כל מנה כזו היא פונקציה מרומורפית. במקרה כזה, הקטבים הם (חלק מ)הנקודות בהן מתאפסת הפונקציה שבמכנה.

הגדרה מתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור תת-תחום \ D של המספרים המרוכבים (משמע \!\, D \sub \mathbb{C}) הפונקציה \ f(z) תיקרא מרומורפית ב \ D אם יש קבוצה בדידה של נקודות  \ S\subset D כך ש  \ f(z) אנליטית בקבוצה  D\setminus S וכל הנקודות בקבוצה  \ S הן או נקודות סינגולריות סליקות או קטבים של הפונקציה.

בניסוח שונה, פונקציה מרומורפית בקבוצה  \ D היא פונקציה מ  \ D לתוך הספירה של רימן שהיא הולומורפית בכל נקודה - גם בנקודות שתמונתן היא  \ \infty ושהיא אינה הפונקציה הקבועה המקבלת את הערך  \ \infty .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הפונקציה  \ \frac{z}{\sin z} היא מרומורפית בכל המישור המרוכב. לפונקציה זו יש אינסוף קטבים.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אוסף הפונקציות המרומורפיות בתחום  \ D מהווה שדה, כלומר הוא סגור לחיבור, חיסור, כפל וחילוק. זהו שדה השברים של חוג הפונקציות ההולומורפיות. שדה זה הוא הרחבה של שדה המספרים המרוכבים (שמוכל בשדה הפונקציות המרומורפיות כפונקציות הקבועות).

ממדים גבוהים[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור יריעות מרוכבות בממד גבוה, מגדירים פונקציה מרומורפית בתור מנה של שתי פונקציות הולומורפיות.