פונקציה שלמה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מרוכבת, פונקציה שלמה היא פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב. דוגמאות בסיסיות לפונקציות שלמות הן הפולינומים המרוכבים, פונקציית האקספוננט המרוכבת וסכומים, מכפלות והרכבות שלהם. הפונקציות הטריגונומטריות וההיפרבוליות גם הן פונקציות שלמות, אך הן וריאציות על הפונקציה האקספוננציאלית (כפי שניתן לראות מנוסחת אוילר). כל פונקציה שלמה ניתנת לייצוג על ידי טור טיילור שמתכנס בכל מקום במישור המרוכב. פונקציות דוגמת הלוגריתם או השורש אינן שלמות (יתר על כן, אלו הן פונקציות רב ערכיות).

משפט חשוב העוסק בפונקציות שלמות הוא משפט ליוביל: פונקציה שהיא שלמה וחסומה היא בהכרח קבועה. משפט זה משמש להוכחה אלגנטית של המשפט היסודי של האלגברה. המשפט הקטן של פיקארד מרחיב את משפט ליוביל: כל פונקציה שלמה שאינה קבועה מקבלת כל ערך במישור המרוכב, פרט אולי לערך אחד (למשל, פונקציית האקספוננט מקבלת כל ערך פרט ל-0).

אחד הנושאים המרכזיים בתורת הפונקציות השלמות הוא הקשר בין קצב הגידול של הפונקציה, לבין התפלגות האפסים שלה. את קצב הגידול מודדים באמצעות הסדר, \ \rho = \limsup \frac{\log(\log M(r))}{\log r}, כאשר \ M(r) = \max_{|z|=r}{|f(z)|}. פונקציה מסדר \ \rho גדלה, בקירוב, כמו \ e^{|z|^{\rho}}. הסדר הוא תמיד מספר ממשי בין 0 לאינסוף, וכל אפשרות כזו (לרבות הקצוות) עשויה להתקבל. לנגזרת יש אותו סדר כמו לפונקציה עצמה‏‏ ‏[1].

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ‏Lectures on Entire Functions, B. Y. Levin‏


אנליזה מרוכבת

מספר מרוכבשדה המספרים המרוכביםפונקציה מרוכבתפונקציה הולומורפיתפונקציה שלמהנוסחת אוילרמשוואות קושי-רימןמשפט אינטגרל קושינוסחת אינטגרל קושימשפט ליובילהמשפט היסודי של האלגברהטור לורןסינגולריותקוטבמשפט השאריותעקרון הארגומנטמשפט רושה

אנליזה מתמטיתחשבון אינפיניטסימליאנליזה וקטוריתטופולוגיהאנליזה מרוכבתאנליזה פונקציונליתתורת המידה
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.