פונקציית גמא הלא שלמה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פונקציית גמא הלא שלמה מוגדרת על ידי אינטגרל בעל אותו אינטגרנד כמו פונקציית גמא אך עם גבולות אינטגרציה שונים: ישנם שני סוגיים של פונקציית גמא הלא שלמה : עליונה ותחתונה.

פונקציית גמא הלא שלמה העליונה מוגדרת:

 \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t .\,\!

פונקציית גמא הלא שלמה התחתונה מוגדרת:

 \gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t .\,\!

מההגדרה נובע :

 \gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s)\!

מאינטגרציה בחלקים מקבלים:

\Gamma(s,x)= (s-1)\Gamma(s-1,x) + x^{s-1} e^{-x}\!
 \gamma(s,x) =(s-1)\gamma(s-1,x) - x^{s-1} e^{-x}\!

תכונות:

  • \Gamma(s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum_{k=0}^{s-1}\frac{x^k}{k!} כאשר s שלם חיובי
  •  \Gamma(s,0) = \Gamma(s)\!
  • \Gamma(1,x) = e^{-x}\!
  • \gamma(1,x) = 1 - e^{-x}\!

נגזרים:

  •  \frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial x} = - \frac{x^{s-1}}{e^x}

הגדרת מקרה מיוחד של פונקציית "G" של ("Meijer G") מאייר[1]:

T(m,s,x) = G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, 0, \dots, 0 \\ s-1, -1, \dots, -1 \end{matrix} \; \right| \, x \right)
T(m,s,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \frac{{\rm d}^{m-2} }{{\rm d}t^{m-2} } \left[\Gamma (s-t) z^{t-1}\right]\Big|_{t=0} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{s-1+n}}{n! (-s-n)^{m-1} } כאשר |z| < 1
  • \frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial s} = \ln x \Gamma (s,x) + x\,T(3,s,x)
  • \frac{\partial^2 \Gamma (s,x) }{\partial s^2} = \ln^2 x \Gamma (s,x) + 2 x[\ln x\,T(3,s,x) + T(4,s,x) ]
  • \frac{\partial^m \Gamma (s,x) }{\partial s^m} = \ln^m x \Gamma (s,x) + m x\,\sum_{n=0}^{m-1} P_n^{m-1} \ln^{m-n-1} x\,T(3+n,s,x)
וגם P_j^n = \left( \begin{array}{l} n \\ j \end{array} \right) j! = \frac{n!}{(n-j)!}.

התנהגות אסימפטוטית:

  •  \frac{\gamma(s,x)}{x^s} \rightarrow \frac 1 s כאשר x \rightarrow 0
  •  \frac{\Gamma(s,x)}{x^s} \rightarrow -\frac 1 s כאשר x \rightarrow 0 וגם \Re (s) < 0\,
  •  \gamma(s,x) \rightarrow \Gamma(s) כאשר x \rightarrow \infty
  •  \frac{\Gamma(s,x)}{x^{s-1} e^{-x}} \rightarrow 1 כאשר x \rightarrow \infty

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149-165, [1]