פונקציית החלוקה (פיזיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פונקציית החלוקה (מסומנת בדרך כלל \  Z) היא מושג בפיזיקה, ובייחוד בתרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית. מקור פונקציה זו היא בגורם נרמול של התפלגויות סטטיסטיות של מצבי מערכת פיזיקלית. פונקציה זו מכילה מידע סטטיסטי רב על המערכת הפיזיקלית ובעזרתה ניתן לחשב גדלים תרמודינמיים רבים. הפונקציה תלויה בטמפרטורה ובמאפיינים שונים של המערכת הפיזיקלית. הפונקציה מסומנת באות Z, שהיא האות הראשונה של שמה הגרמני Zustandssumme (מילולית - סכום על מצבים).

פונקציית החלוקה הקנונית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית החלוקה עבור מערכת קנונית (מערכת עם מספר חלקיקים, טמפרטורה ונפח קבועים) מוגדרת על ידי:

Z = \sum_i \exp\left(-\frac{E_i}{k_BT}\right)

כאשר הסכום הוא על כל המצבים האפשריים של המערכת.  E_i היא האנרגיה במצב ה-T, i היא הטמפרטורה ו-\ k_B הוא קבוע בולצמן.

פונקציה זו משמשת גורם נרמול עבור התפלגות בולצמן, לפיה הסיכוי שמערכת תמצא במצב בעל אנרגיה  E_i פרופורציוני ל-  \exp\left(-E_i/k_BT\right) , או בכתיב מתמטי:

 P(E_i) = \frac{1}{Z}\exp(-\frac{E_i}{k_BT})

כאשר Z (פונקציית החלוקה) היא מקדם פרופורציה. על מנת שההתפלגות תהיה מנורמלת, סכום ההסתברויות עבור על המצבים צריך להיות שווה ל1, ולכן :

Z = \sum_i \exp\left(-\frac{E_i}{k_BT}\right)

עבור מערכת קוונטית, ניתן לכתוב את פונקציית החלוקה גם כ Z=\operatorname{tr} ( e^{- H/k_BT} ) כאשר H הוא אופרטור ההמילטוניאן ו- \operatorname{tr} היא העקבה.

עבור מערכת קלאסית בעלת רצף של אנרגיות, פונקציית החלוקה נתונה על ידי:

Z=\frac{1}{N!h^{3N}} \int \, \exp[-\beta H(p_1 \cdots p_N, x_1
\cdots x_N)] \; \mathrm{d}^3p_1 \cdots \mathrm{d}^3p_N \, \mathrm{d}^3x_1 \cdots \mathrm{d}^3x_N

כאשר האינטגרציה מתבצעת על הקואורדינטות והתנעים של כל N החלקיקים ו- h הוא קבוע פלאנק

פונקציית חלוקה חד חלקיקית[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית חלוקה של מערכת הכוללת חלקיק יחיד, מכונה פונקציית חלוקה חד חלקיקית ומסומנת לרוב באות  \ \zeta . אם המערכת מורכבת מ-N חלקיקים זהים ללא אינטראקציה ביניהם, פונקציית החלוקה של כלל המערכת קשורה לפונקציית החלוקה החד חלקיקית באופן הבא:

 Z= \frac{1}{N!} \zeta^N

הגורם  \frac{1}{N!} נדרש במידה ומדובר בחלקיקים (קלאסיים) זהים שאינם ברי הבחנה (פרדוקס גיבס). במידה והחלקיקים ברי הבחנה \ Z= \zeta^N.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

1. פונקציית החלוקה של גז אידאלי של חלקיקים קלאסיים ללא דרגות חופש פנימיות:

Z = \frac{1}{N!} \left[\frac {V}{h^3}(2\pi m k_B T)^{3/2} \right]^N

כאשר:

2. פונקציית החלוקה של ספין 1/2 בשדה מגנטי H (בהנחה שהספין קבוע למקום):

\zeta = 2 \cosh\left(\frac{\mu_B g H}{2k_BT}\right)

כאשר:

3. פונקציית חלוקה של אוסצילטור הרמוני קוונטי בעל תדירות  \omega :

\zeta = \frac{1}{\sinh(\frac{\hbar\omega}{2k_BT})}

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מפונקציית החלוקה ניתן לקבל את האנרגיה החופשית, שהיא הפוטנציאל התרמודינמי הקובע את התנהגות המערכת:

\ F=-k_BT \ln Z

כעת, על ידי גזירת האנרגיה החופשית (או לחלופין פונקציית החלוקה), ניתן לקבל את כל הגדלים התרמודינמיים המאפיינים את המערכת. לדוגמה:

ניתן גם לחשב את הפלוקטואציות בגדלים הנ"ל. לדוגמה :

\langle (\delta E)^2 \rangle \equiv \langle (E - \langle
E\rangle)^2 \rangle = \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial \beta^2}

כאשר : \beta \equiv \frac{1}{k_BT}

פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית החלוקה עבור מערכת גרנדקנונית (מערכת עם טמפרטורה ונפח קבועים, אך מספר החלקיקים המערכת משתנה), מסומנת לרוב על ידי אות Z מסולסלת ומוגדרת על ידי:

\mathcal{Z} = \sum_i \exp\left(-\frac{E_i-\mu n_i}{k_BT}\right)

כאשר  \ \mu הוא הפוטנציאל הכימי של המערכת,  \ n_i הוא מספר החלקיקים במערכת במצב ה-i. כמו קודם, הסכימה היא על כל מצבי המערכת האפשריים,  E_i היא האנרגיה במצב ה-T, i היא הטמפרטורה ו-\ k_B הוא קבוע בולצמן.

קיים הקשר הבא בין פונקציות החלוקה הגרנדקנונית והקנונית:  \mathcal{Z} = \sum_N exp\left(\frac{\mu N}{k_BT}\right) Z_{can}(N) כאשר  Z_{can}(N) היא פונקציית חלוקה קנונית עם N חלקיקים.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית החלוקה של גז אידאלי של חלקיקים קלאסיים ללא דרגות חופש פנימיות:

 \exp \left[ e^\frac{\mu}{k_BT} V \left( \frac{2\pi m k_BT}{h^2}\right)^{3/2}\right]

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מפונקציית החלוקה הגראנד קנונית. ניתן לקבל את הפוטנציאל הגראנד קנוני  \Omega = -k_B T \ln \mathcal{Z} ומנגזרות הפוטנציאל הגראנד קנוני את כל הגדלים התרמודינמיים הרלוונטיים למערכת.