פונקציית המלבן

פונקציית המלבן

פונקציית המלבן (ידועה גם כפולס של גל מרובע ובאנגלית rectangular , rectangle function , rect function או unit pulse) מוגדרת כדלהלן:

$\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt] 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \end{cases}$

ישנן הגדרות שונות של ערך הפונקציה $\mathrm{rect}(\pm \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix})$ בנקודות אי-הרציפות $\pm 1/2$ והן 0, 0.5, 1 או לא מוגדר.

אפשר לבטא את פונקציית המלבן באמצעות פונקציית הביסייד $\ u(t)$:

$\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right)$

או לחלופין

$\mathrm{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot u \left( \frac{1}{2} - t \right)$

פונקציית המלבן מנורמלת מבחינת שטח:

$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\,dt=1$

התמרת פורייה הרציפה של פונקציית המלבן היא

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$,

ובמונחי פונקציית sinc:

$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt = \mathrm{sinc}(f)$

ניתן להגדיר את פונקציית המשולש כקונבולוציה של 2 פונקציות מלבן:

$\ \mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t)$

כאשר מסתכלים על פונקציית מלבן כהתפלגות הסתברות, הפונקציה האופיינית שלה היא

$\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2}\,$

והפונקציה יוצרת מומנטים שלה היא

$M(k)=\frac{\mathrm{sinh}(k/2)}{k/2}\,$

כאשר $\ \mathrm{sinh}(t)$ היא סינוס היפרבולי.

ראו גם

• התמרת פורייה
• גל מרובע
• פונקציית המשולש