פונקציית המלבן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
פונקציית המלבן

פונקציית המלבן (ידועה גם כפולס של גל מרובע ובאנגלית rectangular , rectangle function , rect function או unit pulse) מוגדרת כדלהלן:

\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0           & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1           & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}
\end{cases}

ישנן הגדרות שונות של ערך הפונקציה \mathrm{rect}(\pm \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}) בנקודות אי-הרציפות \pm 1/2 והן 0, 0.5, 1 או לא מוגדר.

אפשר לבטא את פונקציית המלבן באמצעות פונקציית הביסייד \ u(t):

\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right)

או לחלופין

\mathrm{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot u \left( \frac{1}{2} - t \right)

פונקציית המלבן מנורמלת מבחינת שטח:

\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\,dt=1

התמרת פורייה הרציפה של פונקציית המלבן היא

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right),

ובמונחי פונקציית sinc:

\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt
= \mathrm{sinc}(f)

ניתן להגדיר את פונקציית המשולש כקונבולוציה של 2 פונקציות מלבן:

\ \mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t)

כאשר מסתכלים על פונקציית מלבן כהתפלגות הסתברות, הפונקציה האופיינית שלה היא

\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2}\,

והפונקציה יוצרת מומנטים שלה היא

M(k)=\frac{\mathrm{sinh}(k/2)}{k/2}\,

כאשר \ \mathrm{sinh}(t) היא סינוס היפרבולי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]