פונקציית הצטברות

בתורת ההסתברות, פונקציית הצטברות (Cumulative distribution function, בראשי תיבות CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה $\ X \leq a$, לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.

תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים

אם X משתנה מקרי, הפונקציה $\ F_X(a) = \operatorname{Pr}(X \leq a)$ מקיימת בהכרח ארבע תכונות:

1. הגבול $\ \lim_{a \rightarrow -\infty} F_X(a)$ שווה ל-0.
2. הגבול $\ \lim_{a \rightarrow \infty} F_X(a)$ שווה ל-1.
3. הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר $\ F_X(a) \leq F_X(b)$ לכל $\ a \leq b$.
4. הפונקציה רציפה מימין.

ולהיפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות $\ a < X < b$. ואכן, אם דורשים ש- $\ \operatorname{Pr}(X \leq a) = F(a)$, נובע שהגבול משמאל $\ \lim_{x \rightarrow b^{-}} F(b)$ שווה להסתברות $\ \operatorname{Pr}(X<b)$. מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה $\ a < X < b$, $\ a < X \leq b$, $\ a \leq X < b$ ו- $\ a < X < b$.

בפרט נובע ש-$\ P(X=b) = F_X(b) - \lim_{x\rightarrow b^{-}}F_X(x)$, כך שהסיכוי למאורעות $\ X=b$ הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.$