פונקציית מביוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, פונקציית מביוס, המסומנת \!\,\mu(n) היא פונקציה אריתמטית שהוצגה לראשונה על ידי אוגוסט פרדיננד מביוס. הפונקציה מוגדרת על המספרים הטבעיים והיא תלויה רק בפירוק לגורמים של המספר שעליו היא פועלת. לפונקציה שימושים בתורת המספרים ובקומבינטוריקה, ויש לה גרסאות מוכללות (המוגדרות על קבוצה סדורה)

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור 1 מוגדר \!\,\mu(1)=1. כל מספר אחר \!\,n ניתן להצגה כמכפלה של גורמים ראשוניים: \!\,n=p_1^{e_1}\cdot\dots\cdot p_r^{e_r} (החזקות גדולות מ-0).

אם מתקיים \!\,e_1=e_2=\dots=e_r=1 אז \!\,\mu(n)=\left(-1\right)^r.

אחרת \!\,\mu(n)=0.

במילים: אם המספר ניתן להצגה כמכפלה של גורמים ראשוניים זרים זה לזה (מבלי שאף גורם ראשוני יחזור על עצמו יותר מפעם אחת) הפונקציה מחזירה 1 אם מספר הגורמים זוגי, ומחזירה 1- אם מספר הגורמים אי זוגי. אם המספר לא ניתן להצגה שכזו (ופירוש הדבר הוא שהוא מתחלק על ידי ריבוע כלשהו של מספר אחר), הפונקציה מחזירה 0.

עבור 0 הפונקציה אינה מוגדרת בדרך כלל.

אם X היא קבוצה עם יחס סדר חלש, פונקציית מביוס של הקבוצה מוגדרת לפי השוויון \ \mu(x,y)=[X]^{-1}_{a,b}, כאשר המטריצה \ [X] מתארת את היחס: \ [X]_{a,b} = 1 אם \ a\leq b, ו- \ [X]_{a,b} = 0 אחרת. עבור המספרים הטבעיים עם יחס החילוק, מתקבלת פונקציית מביוס הרגילה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערכים שעבורם הפונקציה מחזירה 0 (כאמור, אלו בדיוק הערכים שמתחלקים על ידי ריבוע כלשהו) הם:

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63,...

עבור כל מספר ראשוני הפונקציה תחזיר 1-. כמו כן היא תחזיר 1- עבור כל מספר שהוא מכפלה של שלושה ראשוניים זרים. המספרים הללו הם:

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222,...

עבור מספרים המורכבים ממכפלה של מספר זוגי של מספרים ראשוניים הפונקציה תחזיר 1, למשל:

6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 39, 51, 55, 65, 77, 85, 91, 143, 187, 210...

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

שימוש בולט של פונקציית מביוס הוא בנוסחת ההיפוך של מביוס, הנובעת מהיותה של פונקציית מביוס האיבר ההופכי לפונקציה f(n)\equiv 1 ביחס לקונבולוציית דיריכלה.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]