פונקציית מדרגה

פונקציית מדרגה. פה הערך ב-0 מוגדר להיות 0.5

במתמטיקה, פונקציית מדרגה, או פונקציית הביסייד (על שם אוליבר הביסייד) היא פונקציה המקבלת את הערך 0 עבור מספרים שליליים ואת הערך אחד עבור מספרים חיוביים, כלומר זוהי הפונקציה המציינת של הקרן $\ [0,\infty)$:

$\theta (x) = H(x)=1_{[0,\infty)}(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & & x < 0 \\ 1 & & x \ge 0 \end{matrix}\right.$

(הערך ב-$\,x=0$ מוגדר לעתים אחרת, למשל $H(0)=\frac{1}{2}$).

תכונות הפונקציה:

• הפונקציה רציפה בכל נקודה פרט ל-$\,x=0$.
• הפונקציה גזירה בכל נקודה פרט ל-$\,x=0$.
• הפונקציה אינטגרבילית בכל קטע סופי.
• באופן בלתי פורמלי, "הפונקציית הנגזרת" של $\ H$ היא הדלתא של דיראק( נוסח זה אינו נכון מתמטית מכיוון שפונקציית מדרגה אינה גזירה). זוהי דיסטריבוציה המקבלת בכל נקודה את הערך 0, פרט לנקודה $\ x=0$ בה היא "מקבלת את הערך אינסוף". זהו תיאור איכותי בלבד ואיננו מדויק מתמטית. באופן יותר ריגורוזי, מה שנכון לרשום הוא ש-$\ H(x) = \int_{- \infty}^{x}{ \delta ( s )\, ds }$ פרט אולי ל-$\ x=0$.
• הפונקציה הקדומה של H היא $\mathrm{Ramp}(x) = \int_{-\infty}^x H(t)dt = x \cdot H(x)$, שנקראת לעתים פונקציית רמפה.

ראו גם

• פונקציית מדרגות
• פונקציית היחידה