פונקציית מדרגות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
דוגמה לפונקציית מדרגות (הגרף האדום)

פונקציית מדרגות היא פונקציה על המספרים הממשיים שניתן להציגה כצירוף לינארי סופי של פונקציות מציינות של קטעים. בניסוח פחות פורמלי, פונקציית מדרגות היא פונקציה קבועה למקוטעין, על גבי מספר סופי של קטעים. הפונקציה קרויה פונקציית מדרגות משום שהגרף של הגרסה המונוטונית שלה נראה כמדרגות במבט מהצד.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} קרויה פונקציית מדרגות אם ניתן לכתוב אותה בצורה:

f(x) = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}(x)\, לכל מספר ממשי \ x

כאשר n\ge 0, ו-\ \alpha_i הם מספרים ממשיים, \ A_i הם קטעים, \ \chi_A\, היא הפונקציה המציינת של \ A:

\chi_A(x) =
\begin{cases}
1 & \mbox{if } x \in A, \\
0 & \mbox{if } x \notin A. \\
\end{cases}

בהגדרה זו ניתן להניח שהקטעים \ A_i מקיימים שתי תכונות:

אם לא מתקיימות הנחות אלה, ניתן לבחור אוסף אחר של קטעים שיקיים אותן. דוגמה: את הפונקציה

f = 4 \chi_{[-5, 1)} + 3 \chi_{(0, 6)}\,

ניתן לכתוב כ:

f = 0\chi_{(-\infty, -5)} +4 \chi_{[-5, 0]} +7 \chi_{(0, 1)} + 3 \chi_{[1, 6)}+0\chi_{[6, \infty)}\,.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית מדרגה

פונקציית הערך השלם אינה פונקציית מדרגות, משום שיש בה מספר אינסופי של קטעים.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • סכום ומכפלה של שתי פונקציות מדרגות גם הוא פונקציית מדרגות. מכפלה של פונקציית מדרגות במספר גם היא פונקציית מדרגות. בהתאם לכך, האוסף של פונקציות המדרגות הוא אלגברה לא אסוציאטיבית מעל הממשיים.
  • לפונקציית מדרגות יש מספר סופי של ערכים. אם הקטעים \ A_i, i=0, 1, \dots, n, בדוגמה לעיל הם זרים, ואיחודם הוא הישר הממשי, אזי f(x)=\alpha_i\, לכל x\in A_i.
  • אינטגרל לבג של פונקציית מדרגות f = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}\, על קטע סופי הוא \int \!f\,dx = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \ell(A_i)\, כאשר \ell(A) הוא האורך של קטע \ A, ולכל אחד מהקטעים \ A_i יש אורך סופי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]