פלימפטון 322

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פלימפטון 322אנגלית: Plimpton 322) הוא לוח חרס שמקורו בבבל המתוארך בין השנים 1900 לפנה"ס עד 1600 לפנה"ס. בלוח הכתוב בכתב יתדות, ארבע עמודות וחמש עשרה שורות של מספרים בספרות בבליות, כך שהמספרים בשתיים מן העמודות שייכים לשלשות פיתגוריות. זהו ככל הנראה המפורסם שבין הלוחות המתמטיים הבבליים שנמצאו ונותחו. מהות המספרים שבו שנויה במחלוקת - על פי חלק מהפרשנויות, הלוח שימש לייצור שלשות פיתגוריות או לחישוב ערכה של פונקציה טריגונומטרית ובכך הוא מעיד על רמה מתמטית גבוהה של התרבות הבבלית ומתבלט ביחס לשאר הממצאים מסוגו. על פי פרשנות אחרת, הלוח שימש ככלי עזר בהוראת חשבון, ואין בו ייחוד רב ביחס לממצאים הדומים לו.

שמו של הלוח נובע מכך שהוא פריט מספר 322 באוסף של ג.א. פלימפטון. מקורו בעיר העתיקה לרסה שבעיראק של ימינו, והוא התגלה בעת חפירות ארכאולוגיות לא חוקיות, יחד עם עוד אלפי לוחות מסוגו, בשנות העשרים של המאה ה-20. פלימפטון קנה את הלוח, ככל הנראה מבלי שהוא או המוכר יבחינו בייחוד שבו, ובשנות ה-30 תרם אותו יחד עם האוסף שלו לאוניברסיטת קולומביה, שם הוא שמור עד עצם היום הזה. בתיאור הקטלוגי שלו, תואר פלימפטון 322 כמכיל "רישום עסקה מסחרית".

פלימפטון 322

תיאור הלוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

הלוח מכיל ארבע עמודות של מספרים. העמודה הימנית ביותר, שניתן לתרגם את כותרתה בתור "השם שלו" מכילה על פי סדר את המספרים מ-1 ועד 15. בשל פגמים בלוח, המספרים 5,6 ו-15 לא מופיעים בבירור בו, אך ניתן לשער את קיומם. המספרים בעמודה זו כתובים בסגנון שונה מזה של המספרים בשאר הלוח (לדוגמה, 4 כתוב כריבוע של ארבע יתדות שמסמלות יחידה, בזמן שבמופע של 4 בעמודה אחרת, הוא מופיע כשלוש יתדות ועוד אחת מתחתיהן). הסגנון השונה נובע כנראה מכך שאין משמעות מתמטית למספרים אלו, והם משמשים רק למספור השורות.

כותרת העמודה השלישית משמאל ניתנת לתרגום כ"צלע האלכסון" (במקור מכילה הכותרת את המילה "ריבוע", אך כנראה שהכוונה במילה זו היא לאורך צלע), ואילו כותרת העמודה השנייה משמאל ניתנת לתרגום כ"צלע הרוחב". בין שתי עמודות אלו מתקיים הקשר הבא: אם \ a הוא מספר מהעמודה השנייה משמאל, ו-\ c הוא המספר המתאים מאותה שורה בעמודה השלישית משמאל, אז בכל המקרים פרט לארבעה מתקיים ש-\ c^2-a^2 הוא ריבוע של מספר טבעי - כלומר, ש-\ a יכול לשמש בתור אורך של ניצב ו-\ c יכול לשמש בתור אורך היתר במשולש ישר-זווית שבו כל הצלעות הן בעלות אורכים שלמים. קשר זה נובע ממשפט פיתגורס. פירוש הדבר הוא ששתי העמודות הללו מתארות (בצורה לא ישירה) שלשות פיתגוריות. המספר השלישי בשלשה, שערכו נתון על ידי \ b=\sqrt{c^2-a^2}, אינו מופיע על גבי הלוח.

העמודה הראשונה משמאל היא הבעייתית מבין כל העמודות. בשל פגמים בלוח, הכותרת שלה אינה ברורה. כמו כן, מכיוון שהלוח ככל הנראה נשבר לאורך קצה העמודה, לא ברור האם השקעים שמופיעים בתחילת כל שורה נובעים מהקו המפריד בין השורות, או שמדובר בסימון של המספר 1 בתחילת כל אחד מהמספרים בעמודה זו.

המספרים שבעמודה הראשונה מסודרים בסדר יורד. אם מסתכלים על המספרים כמייצגים שברים בבסיס סקסגסימלי (בסיס 60) שבו השתמשו הבבלים, הרי שניתן לתת לשורה זו אחת משתי פרשנויות: אם אכן מופיע 1 בתחילת כל איבר בשורה, השורה מתארת את היחס \ \left(\frac{c}{b}\right)^2. אם לעומת זאת לא מופיע 1, היא מתארת את \ \left(\frac{a}{b}\right)^2. חלקים מהעמודה השמאלית חסרים, אך ניתן לשער את ערכם על פי הכלל המנחה שנראה כי שימש ליצירת שאר המספרים בעמודה זו.

תוכן הלוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

הלוח מכיל את המספרים הבאים (בסוגריים נתונים תיקונים שמקובלים בספרות המודרנית, אך לא מופיעים בלוח המקורי):

תרגום הספרות הבבליות בבסיס 60
לספרות מודרניות, אולם בבסיס 60
(1:)59:00:15 1:59 2:49 1
(1:)56:56:58:14:50:06:15 56:07 1:20:25 2
(1:)55:07:41:15:33:45 1:16:41 1:50:49 3
(1:)53:10:29:32:52:16 3:31:49 5:09:01 4
(1:)48:54:01:40 1:05 1:37 5
(1:)47:06:41:40 5:19 8:01 6
(1:)43:11:56:28:26:40 38:11 59:01 7
(1:)41:33:45:14:03:45 13:19 20:49 8
(1:)38:33:36:36 8:01 (9:01) 12:49 9
(1:)35:10:02:28:27:24:26 1:22:41 2:16:01 10
(1:)33:45 45 1:15 11
(1:)29:21:54:02:15 27:59 48:49 12
(1:)27:00:03:45 2:41 4:49 13
(1:)25:48:51:35:06:40 29:31 53:49 14
(1:)23:13:46:40 56 1:46 15
תרגום הספרות הבבליות בבסיס 60
לספרות מודרניות בבסיס 10
1 119 169 1.9834
2 3367 11521 (4825) 1.94916
3 4601 6649 1.9188
4 12709 18541 1.88625
5 65 97 1.81501
6 319 481 1.78519
7 2291 3541 1.71998
8 799 1249 1.6928
9 541 (481) 769 1.64267
10 4961 8161 1.58612
11 45 75 1.5625
12 1679 2929 1.48942
13 25921 (161) 289 1.45002
14 1771 3229 1.43024
15 56 53 (106) 1.38716

במקור כל המספרים מופיעים בבסיס 60, אך בטבלה שלפנינו מובא הייצוג שלהם כמספרים עשרוניים. כמו כן, בעמודה השמאלית, ה-1 שלפני הנקודה בכל אחד מהמספרים שבעמודה הוא כאמור אופציונלי, וייתכן שלא היה חלק מהלוח.

הסבר לגבי התיקונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור, פרט לשורות 2,9,13,15, בכל השורות מתקיים ש-\ c^2-a^2 הוא ריבוע של מספר טבעי. עבור ארבע השורות ה"בעייתיות", נתון בסוגריים ערך שיבטיח שתכונה זו תתקיים גם באותה השורה. ניתן להסביר חלק מהתיקונים:

  • התיקון בשורה 9 מתבסס על כך ש-481 נכתב בתור (8,1) בבסיס סקסגסימלי, בעוד ש-541 נכתב בתור (9,1), כך שייתכן שהייתה כאן שגיאה של חוסר תשומת לב.
  • התיקון בשורה 13 מתבסס על כך ש-161 הוא השורש של 25921.
  • התיקון בשורה 15 מתבסס על כך ש-53 הוא חצי מ-106 (תיקון אפשרי אחר: להפוך את 56 ל-28).
  • התיקון שבשורה 2 הוא הבעייתי ביותר, ולא ניתן לו הסבר משכנע לחלוטין.

הפרשנויות השונות לאופן יצירת הלוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

שלשות פיתגוריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

האזכורים המרכזיים הראשונים של הלוח היו בספריו של אוטו נויגבאואר (Otto Neugebauer), ראשית בספר Mathematical Cuneiform Texts ולאחר מכן בספר The Exact Sciences in Antiquity. הטיפול שהוענק ללוח בספר השני תרם לפרסומו של הלוח, והפך להיות הסטנדרט המקובל בספרים העוסקים בהיסטוריה של המתמטיקה, שרובם תיארו את הפרשנות שאותה הציע נויגבאואר.

על פי פרשנות זו, הלוח שימש ליצירת שלשות פיתגוריות באמצעות שימוש בטכניקה אלגברית מתקדמת יחסית, שמעידה על רמה מתמטית מפותחת של יוצר הטבלה. הטכניקה משמשת ליצירה של שלשות פיתגוריות פרימיטיביות - שלשות פיתגוריות שבהן אין מחלק משותף לשלושת אברי השלשה. כל שלשה פיתגורית יכולה להתקבל באמצעות כפל שלשה פיתגורית פרימיטיבית במספר טבעי, כך שהשלשות הללו הן "אבני בנייה" לשלשות הפיתגוריות. בין השלשות שנמצאות בפלימפטון 322, רק שתיים אינן פרימיטיביות: אלו שבשורות 11 ו-15.

הטכניקה ליצירת השלשות היא כדלהלן: ידוע כי בהינתן מספרים חיוביים \ s,t כך שהם זרים, בעלי זוגיות שונה ו-\ s>t, ניתן ליצור מהם שלשה פיתגורית פרימיטיבית על ידי הנוסחאות \ a=2st,b=s^2-t^2,c=s^2+t^2. יתר על כן, כל שלשה פיתגורית פרימיטיבית ניתנת ליצירה בצורה הזו.

הטבלה שלהלן מסכמת את השלשות שבלוח ואת המספרים שיוצרים אותן. עבור השורות 11 ו-15 מובאים המספרים שיוצרים את השלשות הפרימיטיבית שמהן ניתן להגיע לשלשות שבשורות אלו.

מספר השורה b a c s t
1 120 119 169 12 5
2 3456 3367 4825 64 27
3 4800 4601 6649 75 32
4 13500 12709 18541 125 54
5 72 65 97 9 4
6 360 319 481 20 9
7 2700 2291 3541 54 25
8 960 799 1249 32 15
9 600 481 769 25 12
10 6480 4961 8161 81 40
11 60 45 75 2 1
12 2400 1679 2929 48 25
13 240 161 289 15 8
14 2700 1771 3229 50 27
15 90 56 106 9 5

מהטבלה ניתן לראות כי כל המספרים s,t שנבחרו לצורך יצירת השלשות הם מספרים רגולריים ביחס לבסיס 60: הפיתוח של ההופכיים שלהם לשבר סקסגסימלי (טור חזקות שליליות של 60, בדומה לשבר עשרוני בבסיס 10) הוא סופי. תכונה הרגולריות בבסיס 60 מתקבלת כאשר המחלקים הראשוניים של המספר הם 2, 3 ו-5 בלבד. הסבר אפשרי אחד לבחירה של מספרים רגולריים נעוץ בכך שאם העמודה \ \left(\frac{c}{b}\right)^2 חושבה לאחר חישוב ערכי העמודות של a,c, אז כדי לבצע את החילוק היה צורך ש-b יהיה מספר רגולרי: הבבלים ביצעו חלוקה באמצעות כפל בהופכי. נויגבאואר ציין כי כל המספרים s,t שבטבלה כבר היו ידועים לבבלים ונמצאו בטבלאות הבסיסיות של מספרים רגולריים וההופכיים שלהם, פרט למספרים שיוצרים את שורה 4, אשר נמצאו בהרחבות מיידיות לטבלאות אלו.

טבלה טריגונומטרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההסבר של נויגבאואר אינו מפרש מדוע העמודה השמאלית ביותר מכילה את ריבוע היחס בין צלעות המשולשים. אחד ההסברים הנפוצים הוא שעמודה זו משמשת לחישוב פונקציה טריגונומטרית, שיכולה להיות \ \sec^2(x) או \ \tan^2(x), בהתאם לתשובה לשאלה האם מופיע 1 מצד שמאל של כל המספרים בעמודה זו או לא. בדיקה של הזוויות שיתנו את התוצאות שבטבלה מעלה כי הן נעות מזווית של 45 מעלות בערך ועד זווית של 31 מעלות בערך, כאשר כל שורה יורדת בערך במעלה. הדבר מאפשר להעלות סברה כי פלימפטון 322 היה חלק מאוסף גדול יותר של טבלאות, ששימשו גם לחישוב הזווית מ-30 ועד 16, ומ-15 ועד 1.

בטבלה הבאה מסוכמות הזוויות עבור כל אחת מהשורות:

מספר השורה \ x \ \sec^2(x)
1 44.76 1.9834
2 44.25 1.94916
3 43.79 1.9188
4 43.27 1.88625
5 42.08 1.81501
6 41.54 1.78519
7 40.32 1.71998
8 39.77 1.6928
9 38.72 1.64267
10 37.44 1.58612
11 36.87 1.5625
12 34.98 1.48942
13 33.86 1.45002
14 33.26 1.43024
15 31.89 1.38716

מספרים הופכיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

דרך נוספת לייצר את המספרים שבטבלה היא באמצעות זוגות של מספרים הופכיים. ייתכן שהמספרים שבעמודות השנייה והשלישית הם הפרמטרים של תרגיל חשבוני שמטרתו הייתה מציאת זוגות ההופכיים כמתואר להלן. אם מניחים שהטבלה נוצרה בשיטה זו, אז העמודה הראשונה משמאל מהווה תוצאת ביניים של החישוב, ולא אחת ממטרותיו.

תהליך ההשלמה לריבוע: מחלקים את המלבן A לריבוע B והמלבן של ההפרש C, חותכים את C לשני חלקים ומזיזים אחד מהם כדי לקבל צורה דמוית L שמושלמת לריבוע גדול בידי הריבוע הקטן D

השיטה היא כדלקמן: בהינתן מספר \ x וההופכי שלו \ x^{-1}, ניתן להגדיר שני מספרים \ s=\frac{1}{2}\left(x-x^{-1}\right),\, d=\frac{1}{2}\left(x+x^{-1}\right). כעת מתקיים הקשר \ s^2+1^2=d^2 (משום ש- \ \left(\frac{x-x^{-1}}{2}\right)^2+1=\frac{x^2-2+x^{-2}+4}{4}=\left(\frac{x+x^{-1}}{2}\right)^2), כלומר, התקבלה השלשה הפיתגורית \ (s,1,d), כאשר s ו-d אינם שלמים. על ידי כפל של s, ‏d ו-1 בגורם משותף ניתן לקבל שלושה שלמים שגם הם שלשה פיתגורית. בדרך זו ניתן להפיק את כל המספרים שבטבלה באמצעות זוגות של \ x,x^{-1}.

אישוש לכך שזוהי דרך הפעולה ששימשה ליצירת הלוח ניתן למצוא בכך שהתהליך המתואר בו מזכיר את שיטת ההשלמה לריבוע, שהייתה ידועה לבבלים בניסוח גאומטרי. דוגמה לשימוש בשיטה זו ניתן לראות בבעיה הבאה: בהינתן מלבן A ששטחו \ 1 וההפרש בין אורך צלעותיו הוא \ t, יש למצוא את הצלעות.

אם נסמן את הצלעות בתור \ x,x^{-1} (סימון עקבי עם נתוני השאלה, כי מכפלת שתי הצלעות היא 1), כך ש-\ x היא הצלע הגדולה יותר, הרי שההפרש בין אורך הצלעות הוא: \ t=x-x^{-1}. ניתן לראות את המלבן בתור ריבוע B שאורך צלעו \ x^{-1}, ומחובר אליו מלבן C שאורך צלעו האחת \ x^{-1} ואורך צלעו השנייה \ t. שיטת ההשלמה לריבוע מבוססת על יצירת ריבוע בעזרת המלבן הזה, באופן הבא: חותכים חצי מהמלבן C, מסובבים חתיכה זו ומדביקים אותה לתחתית הריבוע B. קיבלנו צורה שנראית כמו האות L, ושטחה זהה לשטח המלבן A, כלומר הוא 1. כדי להשלים את הצורה הזו לריבוע יש להוסיף את שטח הריבוע ה"דמיוני" D, שאורך צלעו הוא בדיוק \ t/2=s. כלומר, שטח הריבוע הגדול הוא \ d^2=1+s^2. על ידי הוצאת שורש ריבועי ניתן למצוא את אורך צלע הריבוע הגדול, ועל ידי חיסור התוספת של \ s ניתן לקבל את הערכים \ x,x^{-1} המבוקשים.

בשיטה זו עולים המספרים \ s,d באופן טבעי, כאשר \ d^2 (העמודה הראשונה מימין) מופיע כתוצר ביניים של החישוב.

הטבלה הבאה מסכמת את יצירת הלוח בדרך זו:

מספר השורה \ x \ x^{-1} \ s \ d \ d^2 \ a \ c
1 12/5 5/12 119/120 169/120 28,561/14,4000 119 169
2 64/27 27/64 3367/3456 4825/3456 23,280,625/11,943,936 3367 4825
3 75/32 32/75 4601/4800 6649/4800 44,209,201/23,040,000 4601 6649
4 125/54 54/125 12,709/13,500 18,541/13,500 343,768,681/182,250,000 12,709 18,541
5 9/4 4/9 65/72 97/72 9409/5184 65 97
6 20/9 9/20 319/360 481/360 231,361/129,600 319 481
7 54/25 25/54 2291/2700 3541/2700 12,538,681/7,290,000 2291 3541
8 32/15 15/32 799/960 1249/960 1,560,001/921,600 799 1249
9 25/12 12/25 481/600 769/600 591,361/360,000 481 769
10 81/40 40/81 4961/6480 8161/6480 66,601,921/41,990,400 4961 8161
11 2 1/2 3/4 5/4 25/16 45 75
12 48/25 25/48 1679/2400 2929/2400 8,579,041/5,760,000 1679 2929
13 15/8 8/15 161/240 289/240 83,521/57,600 161 289
14 50/27 27/50 1771/2700 3229/2700 10,426,441/7,290,000 1771 3229
15 9/5 5/9 28/45 53/45 2,809/2,025 28 53

נשים לב כי עבור הסבר זה, התיקון שבשורה האחרונה השתנה: במקום לתקן את 53 ל-106, מתקנים את 56 ל-28.

תכונה חשובה נוספת של הטבלה היא שהמיון בה מתבצע על פי ערכו של \ x: הערכים מסודרים בסדר יורד, החל מ-2.4 ועד 1.8. הדבר תורם להשערה לפיה פלימפטון 322 הוא רק חלק מהלוח המקורי. עם זאת, אפשרי גם שהלוח שלם, ושהוא נוצר על ידי העתקה מגרסת טיוטה שכן הכילה את ערכיו של \ x.

פרשנות זו מציגה הסברים לדרך שבה התקבלו השגיאות שבלוח. על פיה, השגיאה שבשורה 13 יכלה להיווצר בדרך הבאה: אם \ s חושב באמצעות הנוסחה \ s^2=d^2-1, ייתכן שיוצר הלוח שכח להוציא שורש מהתוצאה. גם השגיאות שבשורות 2 ו-15 יכולות להיות מוסברות על ידי שגיאה בשלב ההכפלה של \ s,d לקבלת מספרים שלמים זרים, שעליה נוספה שגיאת העתקה.

השוואת הפרשנויות השונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • סדר העמודות: בלוחות דומים לפלימפטון 322, סדר העמודות הוא משמאל לימין - כלומר, העמודות שנמצאות בצד ימין מתבססות על אלו שבצד שמאל. על פי פרשנות השלשות הפיתגוריות ופרשנות הטבלה הטריגונומטרית מתקבל דווקא המקרה ההפוך: עמודה מספר 1, השמאלית ביותר, מתבססת על העמודות שמימינה. לעומת זאת, פרשנות המספרים ההופכיים מציעה תיאור שבו יצירת העמודה הראשונה היא שלב מקדים לייצור שתי העמודות שמימינה.
  • השגיאות: בניגוד לשתי הפרשנויות האחרות, פרשנות המספרים ההופכיים נותנת הסבר לדרך שבה נוצרו השגיאות, ובפרט מסבירה את השגיאה שבשורה 2.
  • ראיות היסטוריות: פלימפטון 322 הוא אחד הלוחות הבודדים המצביעים על אפשרות שהבבלים הכירו את נוסחת היצירה של שלשות פיתגוריות (MS3971 ו-

MS3052 הן שתי דוגמאות נוספות), בעוד שלוחות מתמטיים אחרים (למשל, רשימות של מספרים הופכיים) התגלו במספר עותקים.
גם הפרשנות הטריגונומטרית אינה נתמכת בראיות היסטוריות נוספות, ובפרט לא ברור כלל עד כמה היה מושג הזווית ידוע בקרב הבבלים, אם בכלל. בבעיות שעסקו במעגלים, נהגו הבבלים להסתכל על המעגל לא כעל רדיוס המבצע סיבוב, אלא כעל שטח התחום בידי עקומה (למשל, נוסחת שטח העיגול שהייתה ידועה לבבלים אינה מסתמכת על אורך הרדיוס כמו הנוסחה \ \pi r^2 של ימינו, אלא על היקף המעגל - \ c^2/4\pi כאשר \ c הוא ההיקף).

לעומתן, הפרשנות של המספרים ההופכיים מגובה בממצאים שמעידים כי מספרים הופכיים היו מוכרים לבבלים, כמו גם השיטה של השלמה לריבוע.

  • מטרת הלוח: בעוד שהפרשנות הטריגונומטרית ופרשנות השלשות הפיתגוריות מספקות הסבר ברור לייעודו של הלוח, פרשנות המספרים ההופכיים נתקלת בקשיים. אף שניתן לתאר את הלוח ככלי עזר ששימש בהוראת תרגיל חשבון, בהתבסס על כך שאופן יצירתו מזכיר דרכי פתרון שנמצאו על לוחות אחרים, אין בכך כדי להסביר מה הייעוד שמילאו העמודות השנייה והשלישית, שהכילו את השלשות עצמן.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

פורטל ארכאולוגיה של המזרח הקרוב
לפורטל ארכאולוגיה של המזרח הקרוב

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • O. Neugebauer, The exact sciences in antiquity, Dover, 1969
  • R. Creighton Buck, Sherlock Holmes in Babylon, the Mathematical Monthly, 1964.
  • Robson, Eleanor, "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322", Historia Mathematica, Vol 28, pages 167 - 206, 2001
  • Robson, Eleanor, "Words and pictures: New light on Plimpton 322", American Mathematical Monthly, Feb 2002.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • פלימפטון 322 מאמר השייך לקורס על ההיסטוריה של המתמטיקה באוניברסיטת קולומביה הבריטית, כולל תיאור מפורט ומצולם של הלוח, ותיאור של פרשנות השלשות הפיתגוריות.
  • Eleanor Robson and Plimpton 322 - אתר שמגיב על המאמרים האחרונים הטוענים בזכות הפרשנות של המספרים ההופכיים ונגד פרשנות השלשות הפיתגוריות.


ערך מומלץ
Article MediumPurple.svg