פלקסגון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
אותו צד של הפלקסגון יכול להופיע בשני אופנים שונים - שימו לב לכיוונים שאליהן פונות הדמויות.

פלקסגון הוא רצועה המקופלת באופן שיוצר משושה בעל מספר רב של צדדים. כמות הצדדים תלויה במספר המשולשים ששימשו ליצירתו. מקור השם הוא המילה Flexagon שהיא צרוף של המילים גמיש=Flexible ומשושה=Hexagon. הפלקסגון מכונה גם "משושה אוריגמי" (Origami hexagon)‏[1].

היסטוריה, התפתחות ומחקר[עריכת קוד מקור | עריכה]

תרשים זרימה של הדרכים שונות בהן ניתן לקפל את ההקסופלקסגון. התרשים נבנה בשלבים הראשונית של קטלוג הפלקסגונים ושימש כשהשראה לדיאגרמת פיינמן.

הפלקסגון התגלה על ידי ארטור סטון Arthur H. Stone בשנת 1939, אשר היה סטודנט בריטי באוניברסיטת פרינסטון שבארצות הברית[2][1][3]. עם השנים הגיע ארטור למשרת פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת רוצ'סטר Rochester‏[2].

בתחילת דרכו כסטודנט ארטור הביא איתו דפי כתיבה בגודל A4 המקובל באירופה, אך גילה שהדפים חורגים מגבולות הקלסר המיועד לנייר בגודל אמריקאי. כדי להתאים את דפי הכתיבה לגודל הקלסר הוא גזר את הנייר העודף ונשאר עם כמות גדולה של רצועות נייר. ארטור נמנע מלזרוק את הרצועות לפח האשפה ובמקום זאת החל לקפל אותן למשולשים שווי צלעות בדרכים שונות, אשר אחת מהן יצרה את צורת המשושה של הפלקסגון‏[3].

ארטור הראה את הפלקסגון לריצ'רד פיינמן, Bryant Tucker וג'ון טאקי John Tukey, אשר השקיעו זמן רב לקיטלוג של פלקסגונים‏[3]. ריצ'רד פיינמן בנה דיאגרמה אשר מתארת את אפשרויות המעבר בין ששת הצדדים השונים של ההקסופלקסגון. מדיאגרמה זו הוא קיבלת את ההשראה שהובילה אותו לפיתוח דיאגרמת פיינמן[2], אשר מייצגת תהליכים בתורת השדות הקוונטית באמצעות מסלולי חלקיקים. מקרה זה הוא דוגמה לדרך בה שעשועי מתמטיקה יכולים להוביל להתפתחויות בתחום המדע.

סוגי פלקסגונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

המושג "פלקסגון" משמש גם ככינוי כללי לדברים גמישים וקלים לקיפול, אשר יכולים ליצור צורות שונות‏[1]. בהתאם לכך, ישנם גם פלקסגונים בצורות שאינן משושה. לדוגמה ה-tetraflexagon הוא בצורת מרובע‏[1].

יצירה של פלקסגון[עריכת קוד מקור | עריכה]

אופן הקיפול של פלקסגון מ- 9 משולשים שווי צלעות
יצירת פלקסגון מ- 18 משולשים בעל 6 צדדים, המכונה Hexaflexagon.

הפלקסגון נוצר מרצועה המקופלת למשולשים שווי שוקיים. על פי רוב הפלקסגון נוצר מרצועה של נייר, אך ניתן גם להשתמש בחומרים אחרים הניתנים לקיפול כמו בד.

לצורך יצירת פלקסגון בסיסי בעל שלושה צדדים נעשה שימוש ברצועה המקופלת ל- 9 משולשים. בנוסף ניתן להשתמש ברצועה ארוכה יותר בעלת 18 משולשים ליצירת פלקסגון המורכב מ- 6 צדדים. פלקסגון מסוג זה מכונה Hexaflexagon. מקור השם הקספלקסגון הוא מהשילוב של המילה פלקסגון עם המילה hexa שפרושה 6‏[1].

בכל מקרה ניתן להוסיף משולש נוסף לצורך הדבקה נוחה יותר של קצוות רצועת הנייר. במצב זה המשולש הראשון של הצד העליון של הרצועה יודבק למשולש האחרון של הצד התחתון של הרצועה. אין חשיבות לאופן שבו הם מודבקים, כלומר - הראשון יכול להיות מודבק על האחרון או להפך‏[2].

צדדיו של הפלקסגון[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן כללי כל אחד מצדדיו הפלקסגון בנוי מ-6 משולשים שווי צלעות, הצמודים אחד לשני בקודקודם באופן היוצר משושה‏[2]. על ידי הצמדתם של כל שני משולשים סמוכים, ניתן לחשוף צד חדש מהמרכז של הפלקסגון‏[1]. כיוונם של המשולשים יכול להשתנות ממצב למצב, כך שלעתים הם יפנו כלפי חוץ ולעתים כלפי פנים. עם זאת, אותם המשולשים תמיד יופיעו יחדיו באותו הצד‏[2].

כאמור, לפלקסגון הפשוט הבנוי מ-9 משולשים יש שלושה צדדים. במקרה זה בכל מצב נתון צד אחד יפנה כלפי מעלה, השני כלפי מטה והצד השלישי יהיה מוסתר‏[2].

צידה היחיד של רצועת הפלקסגון[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור, הפלקסגון מורכב מרצועה מקופלת. במקור לרצועה יש שני צדדים - עליון ותחתון. אולם, צורת הקיפול שלה משנה מצב זה. זאת משום שכאשר מצמידים רצועה שמסובבת בכפולות אי-זוגיות של 180 מעלות, נוצר משטח ללא חלק פנימי או חיצוני‏[1].

צורת הקיפול של הרצועה המשמשת ליציאת הפלקסגון כוללת שלושה "חצאי סיבוב", באופן הדומה לטבעת מביוס[2]. ההבדל הוא שטבעת מביוס מקופלת ב- 180 מעלות בעוד שהפלקסגון מקופל ב- 540 מעלות (שהם שלוש פעמים 180 - כפולה אי זוגית)‏[1]. כתוצאה מכך, בעוד שלפלקסגון יש מספר רב של צדדים, לרצועה שממנו הוא מורכב יש רק צד אחד‏[2].

שימושים לחינוך והוראה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפלקסגון ככלי להוראת האומנות - המעבר בין הצדדים השונים הופך את היצירה לדינמית.

בתחום החינוך הפלקסגון יכול לשמש ככלי להוראה של נושאים שונים. במיוחד לאור זאת שצורת הקיפול שלו קלה ללימוד‏[3]. ניתן גם להדפיס לתלמידים מראש תבניות מוכנות שעליהן מסומנים המשולשים.

במסגרת למידת חקר הפלקסגון יכול לזמן לכל אחד מהתלמידים הזדמנות לבחון את הדפוסים השונים בקצב האישי שלו‏[3]. ניתן לעקוב אחרי כל הצירופים האפשריים של המשולשים על צדדיו המרובים של הפלקסגון על ידי ציור פרצופים בצבעים שונים בכל צד. כאשר הצדדים מופיעים בכיוונים שונים הפרצופים יהפכו ממחייכים לעצובים[2].

כמו צורות גאומטריות רבות, ניתן להעריך את הפלקסגון ברמות תחכום מתמטיות מרובות‏[3]. במסגרת הוראת המתמטיקה הוא יכול לשמש ללימוד מגוון מושגים מתחום הגאומטריה והאלגברה, כמו סימטריה וטרנספורמציה[3].

במסגרת לימודי האמנות ניתן להשתמש בפלקסגון ליצירה של ציורים בעלי אופי דינמי, משום שהם משתנים כאשר הופכים את צדדיו של הפלקסגון. משום שהרצועה המשמשת ליצירת הפלקסגון היא דו צדדית, כל קיפול מייצר שני משולשים הניתנים לציור. כלומר, בפלקסגון המורכב מ- 9 משולשים ניתן לצייר על 9 שבצד האחד ועוד 9 בצד האחר - סה"כ 18. בדומה לזאת, לפלקסגון הבנוי מ-18 משולשים ניתן לצייר על 36 משולשים משני הצדדים של הרצועה‏[2]. דבר זה מאפשר גיוון רב.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Nishiyama, Y. (2010). General Solution for Multiple Foldings of Hexaflexagons.International Journal of Pure and Applied Mathematics, 58(1), 113-124.‏
  2. ^ 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 Hilton, P., Pedersen, J., & Walser, H. (1997). The faces of the tri-hexaflexagon. Mathematics Magazine, 70(4), 243-251.
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Berkove, E. J., & Dumont, J. P. (2004). It's okay to be square if you're a flexagon. Mathematics Magazine, 77(5), 335-348.