פסוק (לוגיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הפסוק הוא מאבני היסוד של תורת השפה ואף על פי כן קשה ביותר להגדירו. הקושי העיקרי הוא להבחין אותו מחלקיו (מילים, מונחים וכדומה). ככלל, הפסוק הוא אוסף של סימנים (אידאליים) אשר קיימת בדרך כלל הסכמה על משמעותו. במובחן מחלקיו (המילה, הצירוף השמני וכדומה) הפסוק מבטא בדרך כלל משפט או פעולת דיבור שלמה, כגון שאלה, פקודה, טענה, הצעת נישואין וכדומה.

ישנן לוגיקות שונות המטפלות בתוכנם של פסוקים ממינים שונים (לדוגמה הלוגיקה מודלית המטפלת בייתכנות), אך הלוגיקה המודרנית מטפלת בעיקר בתוכנם של פסוקי חיווי (כגון "יורד גשם", או "סוקרטס שתה את כוס הרעל"). פסוק חיווי הוא אוסף סימנים (אידאליים) המבטא טענה. טענה היא תוכן היכול להיות אמיתי או שיקרי, כלומר תיאור של עובדה אפשרית. המתמטיקה למשל, עוסקת כמעט אך ורק בטענות אודות יישים מתמטים ועל כן הלוגיקה המתמטית מטפלת כמעט אך ורק בטענות, תנאי האמת שלהן, תנאי ההוכחה שלהן וכדומה, בעוד פעולות דיבור אחרות, כגון שאלות (העולות במהלך החיפוש המתמטי) אינן מטופלות במסגרתה.

יש להדגיש כי פסוק חיווי מבטא טענה גם כאשר איננו יודעים לקבוע בשום דרך האם טענה זו אכן אמתית או שקרית. החשוב הוא שהפסוק מבטא תוכן אשר יכול להיות אמיתי או שקרי. לדוגמה, הפסוק "ישנו חד קרן מחייך על כוכב צדק" מבטא טענה גם אם אין לנו שום פרוצדורה המבטיחה בירור של אמיתות או שיקריותו.

הגדרת רשמית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי  \mathcal L שפה, ותהא  \phi נוסחה בשפה  \mathcal L . אם ב-\phi אין בה משתנים חופשיים, נאמר כי  \phi היא פסוק.

בתחשיב פסוקים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההגדרה הבסיסית ביותר של פסוק ניתנת במסגרת תחשיב פסוקים. השפה של תחשיב פסוקים כוללת אינסוף סימנים, P_1, P_2, P_3,\ldots, הקרויים "פסוקים יסודיים". יתר הפסוקים נבנים מתוכם באופן רקורסיבי לפי הכללים הבאים:

  • לכל n טבעי, הפסוק היסודי P_n הוא פסוק.
  • לכל פסוק A, הביטוי \neg(A) הוא פסוק, כאשר \neg הוא הקשר הלוגי "לא".
  • לכל שני פסוקים A ו-B, הביטוי (A)\Box (B) הוא פסוק, כאשר \Box הוא אחד מבין הסימנים \to,\land,\vee,\leftrightarrow המייצגים (משמאל לימין) את הקשרים הלוגיים "אם-אז", "וגם", "או" ו"אם ורק אם".
  • כל פסוק מתקבל מרצף פעולות סופיות של הכללים הללו.

למשל (P_1) \to ((\neg(P_2)) \vee (P_1)) הוא פסוק.

האופי הרקורסיבי של בניית פסוקים מאפשר להוכיח עליהם משפטים באינדוקציה מבנית (המבוססת על אינדוקציה של מספרים טבעיים), לפי בניית הפסוק. אם טענה כלשהי מתקיימת לכל הפסוקים היסודיים, ואם בהינתן שהיא מתקיימת לפסוקים A ו-B, היא מתקיימת גם לפסוקים \neg(A) ו-(A)\Box (B) (לכל קשר לוגי), אז בהכרח הטענה מתקיימת לכל הפסוקים. למשל, כך ניתן להוכיח שאורכו של כל פסוק (מספר הסימנים שבו) משאיר שארית 1 בחלוקה ב-3.

משפט הקריאה היחידה, שמוכח באינדוקציה על בניית פסוק, מבטיח שכל פסוק ניתן לקרוא באופן יחיד, כלומר שיש רק דרך אחת לבנות אותו לפי הכללים הללו. כאשר אין חשש לבלבול בקריאה, נהוג להשתמש בכתיב בלתי פורמלי ולהשמיט סוגריים מהפסוק.

ערך האמת של פסוק נקבע על פי ערכי האמת של הפסוקים היסודיים המופיעים בו, ולפי טבלת האמת של כל קשר לוגי. למשל אם P_1 אמיתי ו-P_2 שקרי, אז הפסוק P_1\land (\neg P_2) (שמשמעו "P_1 וגם לא P_2") הוא אמיתי. התאמה המתאימה ערך אמת לכל פסוק יסודי נקראת מבנה, והיא שקובעת את ערכי האמת של כל הפסוקים האפשריים בתחשיב פסוקים.

פסוק שהוא אמיתי תמיד, ללא תלות בערכי האמת של הפסוקים היסודיים המופיעים בו (כלומר אמיתי בכל מבנה; למשל P_1 \to P_1 שאמיתי בין אם P_1 אמיתי ובין אם הוא שקרי) קרוי טאוטולוגיה. פסוק שתמיד שקרי, ללא תלות בערכי האמת של הפסוקים היסודיים המופיעים בו, קרוי סתירה.

בתחשיב יחסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

תחשיב פסוקים אינו עשיר מספיק כדי לבטא את מרבית התורות המתמטיות. לכן משתמשים בתחשיב יחסים ששפתו עשירה יותר.

פסוק הינו נוסחה ללא משתנים חופשיים.

אינטואיציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אנו מצפים מפסוקים שיהיה להם ערך אמת יחיד וקבוע, אך לא כל הנוסחאות עונות לתנאי הזה. למשל אמיתות הנוסחא x\approx 1 תלויה בערך של x. היא אמיתית אם x הוא הקבוע 1, ושקרית אחרת. כדי לאפיין מבין הנוסחאות את אלו שהן פסוקים יש צורך להגדיר את המושג "משתנה חופשי". נאמר על כמת שהוא כימות של משתנה x בנוסחא, אם x מופיע כתו הראשון מימין לכמת (למשל  \exists_x). בכל נוסחא, לאחר כימות של משתנה נפתחים סוגריים. משתנה x בנוסחא נקרא "משתנה מכומת" אם הוא מופיע כתו הראשון מימין לכמת, או שהוא בתוך הסוגריים שנפתחים על ידי כמת המכמת אותו. משתנה שאינו מכומת נקרא "משתנה חופשי". נוסחא שבה אין משתנים חופשיים נקראת פסוק. באופן אינטואיטיבי, פסוק הוא נוסחא שמייצגת טענה כללית כלשהי, שאמיתותה אינה תלויה בערכים שמקבלים המשתנים שבה, מאחר שלא ניתן להציב ערכים במשתנים מכומתים.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הנוסחא x \approx 1, למשל, אינה פסוק, כי המשתנה x המופיע בה הוא משתנה חופשי. לעומת זאת \exists_x (x\approx 1) הוא פסוק. הפסוק אמיתי במבנה הסטנדרטי של המספרים הטבעיים (או גם של הממשיים), שכן הוא טוען שקיים x כלשהו ששווה ל-1. גם הנוסחא \forall_x (x\approx 1) היא פסוק. פסוק זה שקרי במבנה הסטדנרטי, שכן הוא קובע שכל מספר שווה ל-1.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תקרית הפסוק ותבנית הפסוק[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהגדרת הפסוק הנ"ל מודגש כי הפסוק הינו אוסף אידאלי של סימנים. הסיבה לכך הינה אבחנת יסוד חשובה אך חמקמקה בתורת השפה: בין תקרית פסוק ותבניתו. על-מנת להכיר הבחנה זו עלינו להבחין כי בכל פעם שמבוטא פסוק, למשל בעל פה או בכתב, התוצאה אינה הפסוק עצמו אלא מקרה פרטי שלו. הפסוק, על כן, אינו זהה עם כתמי הדיו (או צירופי הפיקסלים המהבהבים) המשמשים לביטויו, אלא הוא המשותף לכל כתמי הדיו הללו, הוא זהה עם הסימנים האידאלים המבטאים אותו...כל פסוק זהה עם תבנית אפלטונית שמשותפת לכל תקריות הפסוק שלו. למשל בכותבנו פעמיים "יורד גשם", "יורד גשם" כתבנו את אותו הפסוק פעמיים, ולכן אף אחד ממופעי תקרית הפסוק אינו זהה עם הפסוק.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]