פרדוקס ד'אלמבר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-edit-clear.svg ערך זה זקוק לעריכה: הסיבה לכך היא: ויקיזציה, קישורים, סידור הערות שוליים.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
ז'אן לה-רון ד'אלמבר, הוגה הפרדוקס
ערכים אמפיריים עבור מקדם גרר כפונקציה של מספר ריינולדס. הקו המלא מייצג ספירה חלקה והקו השבור מייצג ספירה מחוספסת. המספרים לאורך הקווים מייצגים שינוי במשטר הזרימה והשינויים במקדם הגרר בהתאם: 2: זרימה צמודה (זרימת סטוקס) וזרימה מנותקת יציבה 3: זרימה מנותקת עם שכבת גבול למינרית במעלה ההיתנקות היוצרת שובל ערבולים סדורים 4: זרימה מנותקת עם שיכבת גבול במעלה ההיתנתקות והזרימה בשובל הינה זרימה טורבולנטית 5: זרימה מנותקת על קריטית עם שכבת גבול טורבולנטית

במכניקת הזורמים, פרדוקס ד'אלמבר (או הפרדוקס ההידרודינמי) מתייחס לסתירה אליה הגיע ב-1752 המתמטיקאי הצרפתי ז'אן לה-רון ד'אלמבר. ד'אלמבר הוכיח שבזרימה פוטנציאלית בלתי דחיסה ובלתי צמיגה, כוח הגרר על גוף שנע במהירות קבועה יחסית לזורם שווה לאפס.‏[1] היעלמות כוח הגרר בתנאים אלו באה בסתירה ישירה לתצפיות של גרר משמעותי על גופים שנעים יחסית לזורמים כגון אוויר ומים; במיוחד במהירויות גבוהות המתאימות למספרי ריינולדס גבוהים.
ב-1749 ד'אלמבר אמר "נראה שהתאוריה (של זרימה פוטנציאלית), שפותחה בקפדנות האפשרית, נותנת לפחות בכמה מקרים התנגדות שנעלמת לחלוטין, פרדוקס יחיד שאני משאיר למתמטיקאים העתידיים להסביר".‏[2]

פרדוקס פיזי מציין פגם בתאוריה. ובכך מכניקת הזורמים איבדה את האמון של מהנדסים מההתחלה, דבר אשר על פי חתן פרס הנובל בכימיה סיריל נורמן הינשלווד, הביא לפיצול מצער - בין ההידראוליקה, שהייתה התבוננות בתופעות שלא ניתן להסביר, ומכניקת זורמים תאורטית המסבירה תופעות שלא ניתן להבחין בהן.[3]

על פי הקונצנזוס המדעי, הפרדוקס נובע מההשפעות הזניחות של הצמיגות. בשילוב עם ניסויים מדעיים, היו התקדמויות עצומות בתאוריה של חיכוך של זורמים צמיגים במהלך המאה ה-19. ובעניין הפרדוקס, התקדמויות אלו הגיעו לשיאן בגילוי ותיאור של שכבות גבול דקות על ידי לודוויג פרנטל ב-1904. פרנטל גילה שאפילו במספרי ריינולדס גבוהים מאוד, שכבות הגבול הדקות יישארו כתוצאה מכוחות צמיגות. כוחות הצמיגות הללו גורמות לגרר על גופים.[4][5][6][7]

מבחינה מעשית, הפרדוקס נפתר בנוסחה שהוצעה על ידי פרנטל.[4][5][6][7][8][9] אך מבחינה פורמלית - מתמטית - חסרה הוכחה. הוכחה זו קשה לספק, כמו בבעיות רבות אחרות בזרימה, כולל משוואות נאוויה-סטוקס (אשר בהן משתמשים לתאר זרימה צמיגה).

חיכוך צמיגי: סיינט-ונאנט, נאוויה, וסטוקס[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצעדים הראשונים לקראת פתרון הפרדוקס נעשו על ידי סיינט-ונאנט, שמידל חיכוך נוזל צמיג. סיינט-ונאנט קבע בשנת 1847:[10]

"אבל מגלים תוצאה אחרת אם, במקום נוזל אידיאלי - מושא החישובים של המתמטיקאים של המאה שעברה - משתמשים בנוזל אמיתי, המורכב ממספר סופי של מולקולות, ואשר במצב של תנועה מפעיל כוחות לחץ לא שווים, או כוחות אשר יש בהם רכיבים משיקים לאלמנטי המשטח שדרכו הם פועלים; רכיבים שאליהם אנו מתייחסים כחיכוך של הנוזל, שם שכבר ניתן להם מימי דקארט וניוטון".

זמן קצר לאחר מכן, בשנת 1851, סטוקס חישב את הגרר הפועל על כדור בזרימת סטוקס, המכונה חוק סטוקס.[11] זרימת סטוקס מתרחשת בגבול התחתון של מספרי ריינולדס בהן משוואות נאוויה סטוקס עוסקות.[12] עם זאת, כאשר הזרימה מתוארת על ידי המשוואות האל-ממדיות, משוואות נאוויה סטוקס הצמיגות מתכנסות למשוואות אוילר הבלתי צמיגה עבור מספרי ריינולדס גבוהים. דבר זה מעיד שהזרימה צריכה להתכנס לפתרון הבלתי צמיג של זרימה פוטנציאלית – זאת אומרת שאפס הגרר של פרדוקס ד'אלמבר אכן מתקיים. וכמובן שאין שום אימות שהזורם אכן מפעיל אפס גרר בזרימה זו.[13] לכן, שאלות הנוגעות לאמינות של מכניקת זורמים הועלו שוב במחצית השנייה של המאה ה-19.

זרימה לא צמיגה ומופרדת: קירכהוף וריילי[עריכת קוד מקור | עריכה]

זרימה פוטנציאלית, פרידה, בלתי דחיסה מסביב למשטח בדו מימד‏[14] עם לחץ קבוע בשני קווי זרם המופרדים על גבי הגוף

במחצית השנייה של המאה ה-19, המוקד עבר שוב לכיוון שימוש בתאוריית זרימה לא צמיגה לתיאור של גרר - בהנחה שהצמיגות הופכת להיות פחות חשובה במספרי ריינולדס גבוהים. המודל המוצע על ידי קירכהוף[15] וריילי[16] היה מבוסס על התאוריה של הלמהולץ[17] ומורכב משובל תמידי מאחורי הגוף. ההנחות אשר חלו על האזור של השובל כוללות: מהירות הזורם שווה למהירות הגוף, ולחץ קבוע. האזור של שובל זה מופרד מהזרימה הפוטנציאלית שמחוץ לגוף ולשובל בעקבות מערבולות סדורות עם קפיצות רציפות במהירות המשיקית על פני הממשק.[18][19] על מנת לקבל שאין אפס גרור על הגוף, אזור השובל חייב להמשיך עד אינסוף. תנאי זה אכן מתקיים בזרימת קירכהוף בניצב למשטח. התאוריה קובעת בצורה נכונה את כוח הגרר להיות פרופורציונלי לריבוע של המהירות.[20] בהתחלה, התאוריה יכלה להיות מיושמת רק לזרימות המופרדות בקצוות חדים. מאוחר יותר, בשנת 1907, התאוריה הורחבה על ידי לוי-סיויטה לזרימות המופרדות מגבולות חלקות ומעוגלות.[21] היה כבר ידוע שזרימות כאלו אינן יציבות, שכן, המערבולת הסדורות פיתחו אי יציבות קלווין – הלמהולץ.[19] אבל מודל זה של זרימה מתמידה נחקר עוד בתקווה שעדיין יוכל לתת אומדן סביר של גרר.

עם זאת, התנגדויות בסיסיות התעוררו כנגד גישה זו: קלווין ציין שאם משטח נע במהירות קבועה דרך הנוזל, המהירות בשובל שווה לזה של המשטח. ההיקף האינסופי של השובל - המתרחב ככל שהמרחק מהמשטח מתרחק כפי שמתקבל מהתאוריה - משמעותו שיש אנרגיה קינטית אינסופית בשובל. משמעות שאנחנו חייבים לדחות על בסיס פיזיקלי.[20][22] יתר על כן, הפרש הלחצים הנצפה בין החלק הקדמי והחלק האחורי של המשטח וכוחות הגרר כתוצאה מכך, הם הרבה יותר גדולים מהצפוי: למשטח שטוח בניצב לזרימה מקדם הגרר המחושב הוא C_D=0.88, ואילו בניסויים C_D=2.0 . זאת, בעיקר בשל שאיבה בצד השובל של המשטח, הנגרם על ידי הזרימה הבלתי יציבה בשובל האמיתי (בניגוד לתאוריה שמניחה מהירות זרימה קבועה ששווה למהירות של המשטח).[23] לכן, תאוריה זו אינה מספקת כדי להסביר את הגרר שפועל על גוף בזרימה.

שכבות גבול דקות: פרנטל[עריכת קוד מקור | עריכה]

חלוקת הלחץ בזרימה סביב צילינדר מעגלי. הקווים הכחולים המקוקוים מראים את חלוקת הלחץ לפי האוריית הזרימה הפוטנציאלית, הגורמת לפרדוקס ד'אלמבר. הקווים הכחולים הרציפים מגיעים בניסויים שנעשו במספרי ריינולדס גבוהים.

הפיזיקאי הגרמני לודוויג פרנטל הציע בשנת 1904 כי ההשפעות של שכבת גבול צמיגה דקה אולי יכולה להיות המקור של גרר משמעותי.[24] פרנטל שיער, שבמהירויות גבוהות ומספרי ריינולדס גבוהים, תנאי שפה של אי-החלקה גורם לוריאציה משמעותית של מהירויות הזרימה בשכבה הדקה שבקרבת הגוף. זה מוביל ליצירה של ערבוליות ופיזור צמיג של אנרגיה קינטית בשכבת הגבול. פיזור האנרגיה, אשר חסרה בתאוריות של זרימה לא צמיגה, מסבירה את ההפרדה של הזרימה על גבי גופים שאינם פשוטים. הלחץ הנמוך באזור השובל יוצרות גרר צורה, אשר יכול להיות גדול יותר מאשר גרר החיכוך בשל לחץ הגזירה הצמיגי בקיר.[13]

ניתן לראות ראיות לכך שהתרחיש של פרנטל קורה עבור גופים לא פשוטים בזרימה של מספרי ריינולדס גבוהים בזה שניתן לראות בזרימה המתחילה באימפולסיביות סביב גליל. בתחילה הזרימה דומה לזרימה פוטנציאלית, לאחר מכן הזרימה מפרידה ליד נקודת הסטגנציה האחורית. לאחר מכן, נקודות ההפרדה מתחילה לנוע במעלה הזרם , וגורמת לאזור לחץ נמוך של זרימה מופרדת.[13]

פרנטל שיער שהתופעות של צמיגות חשובות בשכבות דקיקות - הנקראות שכבות גבול - סמוכות לגבולות מוצקים, ושלצמיגות אין כל חשיבות מחוץ לגבולות אלו. עובי שכבת הגבול הופך להיות קטן יותר כאשר הצמיגות פוחתת. הבעיה המלאה של זרימה צמיגה, שתוארה על ידי משוואות נאוויה סטוקס הלא לינאריות, היא בכלל לא פתירה מבחינה מתמטית.

עם זאת, בשימוש בהשערתו (וגיבויה על ידי ניסויים) פרנטל היה מסוגל להפיק מודל משוער לזרימה בתוך שכבת הגבול, הנקראת תיאורית שכבות-גבול, ואילו הזרימה מחוץ לשכבת הגבול יכולה להיות מטופלת באמצעות התאוריה של זרימה בלתי צמיגה. תיאורית שכבת גבול ניתנת להרחבה אסימפטוטית לקבלת פתרונות מקורבים. במקרה הפשוט ביותר של משטח המקביל לזרימה, תאוריית שכבת-גבול תניב גרר (חיכוך) בעוד שכל תאוריה של זרימה לא צמיגה תחזה גרר אפס. חשוב לציין לאווירונאוטיקה, התאוריה של פרנטל ניתנת ליישום ישירות לגופים יעילים כמו כנפיים דקים בהם, בנוסף לגרר מהמשטח חיכוך, יש גם גרר צורה אשר נובע מההשפעה של שכבת הגבול הדקה והשובל הדק שנוצר על הפיזור לחצים מסביב לכנפיים דקות.[6][25]

שאלות פתוחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לוודא, כפי שפרנטל הציע, שלגורם בעל משמעות זניחה (השפעת הצמיגות הינה זניחה ככל שמגדילים את מספר ריינולדס) יש השפעה גדולה - גרר משמעותי - עשוי להיות משימה קשה מאוד. המתמטיקאי גארט בירקהוף בפרק הפתיחה של ספרו הידרודינמיקה,[26] כותב על מספר פרדוקסים של מכניקת זורמים (כולל פרדוקס ד’אלמבר) ומביע ספק ברור בפתרונות הרשמיים שלהם:

"יתר על כן, אני חושב שלייחס את כולם להזנחה של צמיגות זו פשטנות בלתי מוצדקת. שורש הבעיה טמון עמוק יותר בדיוק בחוסר ההקפדה הדדוקטיבית שחשיבותה ממוזערת בתדירות גבוהה על ידי פיסיקאים ומהנדסים".[27]

בפרט, לפרדוקס ד’אלמבר, הוא מעלה עוד דרך אפשרית ליצירתו של גרר: חוסר יציבות של הפתרונות האפשריים של הזרימה הפוטנציאלית למשוואות אוילר. בירקהוף קובע:

"בכל מקרה, בסעיפים הקודמים מובהר שהתאוריה של זרימה לא צמיגה אינה שלמה. ואכן, ההיגיון המוביל למושג של "זרימה תמידית" הוא לא חד משמעי , אין שום הצדקה ריגורוזית לביטול הזמן כמשתנה בלתי תלוי . לכן למרות זרימות דיריכלה (פתרונות פוטנציאלים) וזרימות מתמידות אחרות הן מבחינה מתמטית אפשריים, אין סיבה להניח שכל זרימה קבועה היא יציבה".[27]

ב-1951 המתמטיקאי ג'יימס ג'יי סטוקר מבקר בחריפות את הפרק הראשון בספרו של בירקהוף:

"[אני] מתקשה להבין בשביל איזה חלק מהקוראים נכתב הפרק הראשון. לקוראים שמכירים הידרודינמיקה הרוב המוחלט של המקרים שהובאו כפרדוקסים שייכים לקטגוריה של טעויות שמזמן תוקנו, או לקטגוריה של פערים בין התאוריה והניסויים אשר סיבותיהם כבר מובנים היטב. מצד השני ,מאוד צפוי שההדיוטים יקבלו מקריאת פרק זה רושם מוטעה על כמה מההישגים החשובים והשימושיים בהידרודינמיקה".[28]

במהדורה השנייה והמתוקנת של הידרודינמיקה של בירקהוף, שתי ההצהרות שלעיל לא הופיעו. החשיבות והתועלת של ההישגים שנעשו בנושא פרדוקס ד’אלמבר נבדקו על ידי סטיורטסון שלושים שנה לאחר מכן. המאמר סריקה הארוך שלו מתחיל:[8]

"מכיוון שתיאורית הזרימה הלא צמיגה הקלסית מובילה למסקנה האבסורדית שההתנגדות שחווה גוף שנע דרך נוזל עם מהירות אחידה היא אפס, מאמצים רבים שנעשו במהלך מאה השנים האחרונות להציע תאוריות חלופיות ולהסביר כיצד כוח חיכוך זניח בנוזל, יכול בכל זאת להיות השפעה משמעותית על תכונות הזרימה. השיטות משתמשות בשילוב של תצפיות ניסיוניות, חישוב לעתים קרובות בקנה מידה גדול מאוד, וניתוח של המבנה האסימפטוטי של הפתרון כשהחיכוך שואף לאפס. ההתקפה הזאת, שבאה משלשה מישורים אלו, זכתה להצלחה ניכרת , במיוחד בעשר השנים האחרונות , כך שעכשיו אפשר להחשיב במידה רבה את הפרדוקס כפתור".

לפרדוקסים רבים בפיזיקה, הרזולוציה שלהם לעתים קרובות נמצאת בהתעלות על התאוריה הזמינה.‏[29] במקרה של פרדוקס ד’אלמבר, המנגנון החיוני לפתרונו סופק על ידי פרנטל באמצעות הגילוי והמידול של שכבות גבול צמיגות ודקות - אשר אינם זניחים במספרי ריינולדס גבוהים.[24]

הוכחה של אפס גרר בזרימה פוטנציאלית תמידית[עריכת קוד מקור | עריכה]

זרימה פוטנציאלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

קווי זרם של זרימה פוטנציאלית מסביב לצילינדר עגול בזרימה אחידה.

שלוש ההנחות העיקריות בגזירה של פרדוקס ד'אלמבר הן שהזרימה הקבועה היא בלתי דחיסה, לא צמיגה, ואי רוטציונית.[30] נוזל לא צמיג מתואר על ידי משוואות אוילר, אשר לזרימה בלתי דחיסה נראים כדלהלן:

\begin{align} & \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{u} = 0 && \text{(Conservation of mass)} \\ & \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{u} + \left(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}\right) \boldsymbol{u} = - \frac{1}{\rho} \boldsymbol{\nabla} p && \text{(Conservation of momentum)} \end{align}

כאשר u הוא מהירות הזורם, p הלחץ, \rho הצפיפות, ו\nabla הוא אופרטור הגרדיאנט. ההנחה שהזרימה היא רוטציונית גוררת שהמהירות מקיימת \nabla\times u=0 ולכן אנחנו מקבלים:

\left(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}\right) \boldsymbol{u} = \tfrac12 \boldsymbol{\nabla} \left(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u}\right) - \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{u} = \tfrac12 \boldsymbol{\nabla} \left(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u}\right) \qquad (1)

כאשר השוויון הראשון הוא זהות והשוויון השני נובע מהעובדה שהזרימה אי-רוטציונית. בנוסף, לכל זרימה אי-רוטציונית, קיימת פונקציית מהירות \varphi כך שu=\nabla \varphi. הכנסת כל זה למשוואת שימור התנע נותן:

\boldsymbol{\nabla} \left( \frac{\partial\varphi}{\partial t} + \tfrac12 \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} + \frac p\rho \right) = \boldsymbol{0}

לכן, החלק שבסוגריים חייב להיות קבוע (כל תלות שיש בזמן יכולה להתבטל על ידי הגדרה מגדש של \varphi). בהנחה שהזורם נמצא במנוחה באינסוף ושהלחץ מוגדר כאפס שם, הקבוע שווה לאפס, ולכן:  \frac{\partial\varphi}{\partial t} + \tfrac12 \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} + \frac p\rho = 0, \qquad (2) :

שזה משוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית לא יציבה.

אפס גרר[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם גוף נע במהירות קבועה v דרך הנוזל שנמצא במנוחה רחוק מאוד - באינסוף. לכן שדה המהירות של הנוזל חייב להקבע על ידי הגוף, ולכן הוא מהצורה u(x,t)=u(x-v\cdot t,0) כאשר x הוא הקוארדינטה של הווקטור המרחבי, ולכן:

\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \left( \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\nabla} \right) \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}.

מכיוון שu=\nabla \varphi , אפשר לעשות אינטגרציה לפי x ולקבל:

\frac{\partial\varphi}{\partial t} = -\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\nabla} \varphi + R(t) = -\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u} + R(t).

הכוח F שהנוזל מפעיל על הגוף מחושב באמצעות אינטגרל משטחי:

\boldsymbol{F} = - \int_A p\, \boldsymbol{n}\; \mathrm{d} S

כאשר A הוא שטח הגוף, וn הוא וקטור הנורמל למישור הגוף. אבל ממשואה (2) אנחנו מקבלים:

 p = - \rho \Bigl( \frac{\partial\varphi}{\partial t} + \tfrac12 \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} \Bigr) = \rho \Bigl( \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u} - \tfrac12 \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} - R(t) \Bigr),

לכן:

 \boldsymbol{F} = - \int_A p\, \boldsymbol{n}\; \mathrm{d} S = \rho \int_A \left(\tfrac12 \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} - \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u}\right) \boldsymbol{n}\; \mathrm{d} S,

כאשר התרומה של R(t) לאינטגרל שווה לאפס. בשלב זה נהיה הרבה יותר פשוט לעבוד עם רכיבי הווקטור. הרכיב הk של המשוואה הזאת הוא:

 F_k = \rho \int_A \sum_i (\tfrac12 u_i^2 - u_i v_i) n_k \, \mathrm{d} S. \qquad (3)

אם V הוא הנפח של הנוזל, אזי על פי משפט גאוס:

\frac12 \int_A \sum_i u_i^2 n_k \, \mathrm{d} S = - \frac12 \int_V \frac{\partial}{\partial x_k} \left( \sum_i u_i^2 \right) \,\mathrm{d} V.

צד ימין הוא אינטגרל על נפל אינסופי ולכן צריך הצדקה, אשר אפשר להשיגה מתאוריית הזרימה הפוטנציאלית אשר אומרת כי המהירות דועכת כמו r^{-3} - כמו פוטנציאל חשמלי של דיפול בגוף סופי תלת ממדי. האינטגרנד בתוך האינטגרל הנפחי יכול להכתב כדלהלן:

\frac12 \frac{\partial}{\partial x_k} \left( \sum_i u_i^2 \right) = \sum_i u_i \frac{\partial u_k}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial(u_iu_k)}{\partial x_i}

כאשר שוויון (1) והאי-דחיסות של הנוזל ממומשים. כאשר מחזירים את הנוסחא הזו בחזרה לתוך האינטגר הנפחי ומשתמשים בחוק גאוס שוס, מקבלים:

 - \frac12 \int_V \frac{\partial}{\partial x_k} \left( \sum_i u_i^2 \right) \,\mathrm{d} V = -\int_V \sum_i \frac{\partial(u_iu_k)}{\partial x_i} \,\mathrm{d} V = \int_A u_k \sum_i u_i n_i \,\mathrm{d} S.

כאשר מכניסים את זה למשוואה (3) אנו מוצאים ש:

 F_k = \rho \int_A \sum_i (u_k u_i n_i - v_i u_i n_k) \, \mathrm{d} S.

הנוזל אינו יכול לחדו אל תוך הגוף, ולכן n\cdot u=n\cdot v על משטח הגוף, ולכן:

 F_k = \rho \int_A \sum_i (u_k v_i n_i - v_i u_i n_k) \, \mathrm{d} S.

ולבסוף, כוח הגרר הפועל על הגוף חייב להיות בכיוון התנועה, ולכן:

 F_{drag}= \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{F} = \sum_i v_i F_i = 0.

ולכן אין גרר. זהו פרדוקס ד'אלמבר.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Gimberg, Pauls & Frisch (2008)
  2. ^ Reprinted in: Jean le Rond d'Alembert (1768)
  3. ^ M.J. Lighthill (1956), "Physics of gas flow at very high speeds", Nature 178 (4529): 343, תבנית:Citation/identifier, תבנית:Citation/identifier  Report on a conference.
  4. ^ 4.0 4.1 Landau & Lifshitz (1987), p. 15.
  5. ^ 5.0 5.1 Batchelor (2000), pp. 264–265, 303, 337.
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Schlichting, Hermann; Gersten, Klaus (2000), Boundary-layer theory (8th revised and enlarged ed.), Springer, תבנית:Citation/identifier , pp. XIX–XXIII.
  7. ^ 7.0 7.1 Veldman, A.E.P. (2001), "Matched asymptotic expansions and the numerical treatment of viscous–inviscid interaction", Journal of Engineering Mathematics 39: 189–206, תבנית:Citation/identifier, תבנית:Citation/identifier 
  8. ^ 8.0 8.1 Stewartson (1981).
  9. ^ Feynman, R.P.; Leighton, R.B.; Sands, M. (1963), The Feynman Lectures on Physics, Reading, Mass.: Addison-Wesley, תבנית:Citation/identifier , Vol. 2, §41–5: The limit of zero viscosity, pp. 41–9 – 41–10.
  10. ^ Saint-Venant, A. (1847), "Mémoire sur la théorie de la résistance des fluides. Solution du paradoxe proposé à ce sujet par d'Alembert aux géomètres. Comparaison de la théorie aux expériences", Comptes Rendu des Séances de l'Academie des Science 24: 243–246, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29812, rוחזר 2008-08-15 
  11. ^ Stokes, G.G. (1851), "On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums", Trans. Cambridge Phil. Soc. 9: 8–106, תבנית:Citation/identifier . Reprinted in Stokes, G.G., Mathematical and Physical Papers (Cambridge Univ. Press) 3 
  12. ^ (Batchelor, 2000, pp. 245–246).
  13. ^ 13.0 13.1 13.2 Batchelor (2000), pp. 337–343 & plates.
  14. ^ Batchelor (2000), p. 499, eq. (6.13.12).
  15. ^ Kirchhoff, G. (1869), "Zur Theorie freier Flüssigkeitsstrahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik 70: 289–298 
  16. ^ Rayleigh, Lord (1876), "On the resistance of fluids", Philosophical Magazine 5 (2): 430–441 . Reprinted in: Scientific Papers 1:287–296.
  17. ^ Helmholtz, H. L. F. von (1868), "Über discontinuierliche Flüssigkeitsbewegungen", Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 23: 215–228 . Reprinted in: Philosophical Magazine (1868) 36:337–346.
  18. ^ Batchelor (2000), pp. 338–339
  19. ^ 19.0 19.1 Wu, T. Y. (1972), "Cavity and wake flows", Annual Review of Fluid Mechanics 4: 243–284, תבנית:Citation/identifier, תבנית:Citation/identifier 
  20. ^ 20.0 20.1 Lamb, H. (1994), Hydrodynamics (6th ed.), Cambridge University Press, p. 679, תבנית:Citation/identifier 
  21. ^ Levi-Civita, T. (1907), "Scie e leggi di resistenza", Rendeconti del Circolo Matematico di Palermo 23: 1–37 
  22. ^ Lord Kelvin (1894), "On the doctrine of discontinuity of fluid motion, in connection with the resistance against a solid moving through a fluid", Nature 50 (1300): 524–5, 549, 573–5, 597–8, תבנית:Citation/identifier, תבנית:Citation/identifier  Reprinted in: Mathematical and Physical Papers 4: 215–230.
  23. ^ Batchelor (2000), p. 500.
  24. ^ 24.0 24.1 Prandtl (1904).
  25. ^ Batchelor (2000) pp. 302–314 & 331–337.
  26. ^ Garrett Birkhoff, Hydrodynamics: a study in logic, fact, and similitude, Princeton University Press, 1950
  27. ^ 27.0 27.1 Birkhoff (1950) p. 21.
  28. ^ James J. Stoker (1951), "Review: Garrett Birkhoff, Hydrodynamics, a study in logic, fact, and similitude", Bull. Amer. Math. Soc. 57 (6): 497–499, תבנית:Citation/identifier, http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183516308. 
  29. ^ לדוגמה, הפרדוקס של הקביעות של מהירות האור בכל הכיוונים נפתר על ידי תורת היחסות הפרטית.
  30. ^ This article חלק 6.4 של Batchelor (2000).