פרדוקס המספרים המעניינים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פרדוקס המספרים המעניינים הוא פרדוקס מילולי, הנובע מהגדרה של מספר טבעי בצורה שלכאורה סותרת את עצמה.

הפרדוקס נובע מהסיווג של קבוצת המספרים הטבעיים למספרים "מעניינים" ולמספרים "לא מעניינים". 1 נחשב מעניין, בתור המספר הקטן ביותר, 2 נחשב מעניין בתור המספר הראשוני הראשון, 6,578 הוא מעניין בתור המספר הקטן ביותר שניתן לבטאו כסכום של שלוש חזקות רביעיות בשתי דרכים, ועוד.

הוכחה שכל המספרים הם מספרים מעניינים מובילה לפרדוקס (ליתר דיוק לאנטינומיה). בהנחה שלא כל המספרים מעניינים, קיימת קבוצה (סופית או אינסופית) של מספרים טבעיים שאינם מעניינים. מכיוון שזו קבוצה של מספרים טבעיים, חייב להיות בקבוצה איבר מינימלי; עצם העובדה שאיבר זה הוא הקטן ביותר מבין כל המספרים הלא-מעניינים - היא מעניינת כשלעצמה, ועל כן מקומו בקבוצת המספרים המעניינים, ולא בקבוצת המספרים הלא-מעניינים.

הבעיה הנעוצה בלב הפרדוקס היא המושג "מעניין", שאינו מוגדר היטב. ניתן, למשל, לטעון שהיות מספר כלשהו הקטן ביותר בקבוצת הלא-מעניינים אינה הופכת אותו למעניין. יתר על כן, לא ניתן מבחינה מתמטית להגדיר "מספר מעניין" בצורה כזו שאיבר שנמצא בקבוצת המספרים הלא-מעניינים יהיה מספר מעניין בעצמו, מבלי שבהגדרה עצמה תהיה סתירה. הדבר נובע מצורתה המעגלית של ההגדרה: המספר שאנו מוצאים בהוכחה בדרך השלילה הוא מעניין אם הוא לא-מעניין וגם הוא הקטן ביותר מבין הלא-מעניינים. מבחינה לוגית, אמירה זו דומה לאמירה "A הוא B אם A הוא לא B" שהיא סתירה. התייחסות עצמית מסוג זה ידועה במיוחד בפרדוקס השקרן.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]