פרדוקס המעטפות

פרדוקס המעטפות הוא מעין פרדוקס בתורת ההסתברות, המתרגם תנאי התחלה מעורפלים לבעיית-החלטה שבה שתי אלטרנטיבות אשר הבחירה בכל אחת מהן נראית יותר סבירה מהבחירה באחרת.

בניסוח המקובל של הפרדוקס, נתונות שתי מעטפות. באחת המעטפות ישנו סכום כסף מסוים (X) ובשנייה סכום כפול (2X). משתתף מקבל אחת מן המעטפות, בסיכויים שווים, ונשאל האם ברצונו לעבור ממה שקיבל למעטפה השנייה.

המשתתף מוצא במעטפה שלו סכום Y. מנקודת המבט שלו, יש שתי אפשרויות: או שבמעטפות יש Y ו-2Y (ואז, אם הוא מחליף, הוא מרוויח Y), או שבמעטפות יש Y ו-Y/2 (ואז, אם הוא מחליף, הוא מפסיד Y/2). מכיוון שלכאורה שני המקרים סבירים באותה מידה, עדיף להחליף, משום שהרווח הפוטנציאלי כפול מההפסד הפוטנציאלי (כלומר להחלפה תוחלת חיובית, ולכן היא כדאית).

הנימוק הזה נכון לכל Y. כלומר - אפשר היה לבחור את המעטפה הראשונה ולא לפתוח אותה, ולפי אותו שיקול כדאי להחליף מעטפות בלי קשר לתכולת המעטפה הראשונה. הייתכן? הרי אם לא פתחנו את המעטפה, מה מבדיל אותה מן המעטפה השנייה? ואם לא פתחנו את המעטפות עדיין, גם את המעטפה השנייה כדאי להחליף, ולחזור לראשונה.

חקר התנהגות האנשים כאשר עליהם לקבל החלטה בסיטואציה זו משתייך לענף קבלת ההחלטות.

פתרון הפרדוקס

הפרדוקס מנוסח תוך התעלמות מן התהליך המשמש להגרלת הסכום המקורי, X. בפועל, כל "בחירה" מחייבת תהליך של בחירה - התפלגות א-פריורית שממנה הסכום הזה נבחר.

מרגע שקיימת התפלגות כזו, גם אם היא אינה ידועה למשתתף, אפשר, עקרונית, לחשב את הסיכוי להרוויח (לעבור מ-Y ל-2Y) לעומת הסיכוי להפסיד (לעבור מ-Y ל-Y/2). ביתר פירוט, כאשר הסכום Y במעטפה הראשונה ידוע, ההתפלגות א-פריורי של X קובעת את הסיכויים שהמעטפה השנייה תכיל 2Y או Y/2, ואם מן העובדה ש- Y=a אפשר להסיק ש- X שווה ל-a או ל-a/2 בסיכויים שווים, אז גם הסיכוי א-פריורי של X=a חייב להיות שווה לזה ש- X=a/2.

התפלגות כזו, הנקראת התפלגות אחידה, ובה הסיכויים שווים, אינה קיימת בקטע אינסופי כמו כל הישר הממשי. לכן, במעבר על כל האפשרויות, היתרון שברווח הגדול יותר מתאזן בכך שבדרך כלל הסיכויים להפסיד גדולים מן הסיכויים להרוויח.

לשם המחשה, נניח ש- X נבחר באקראי באמצעות התפלגות שאינה מתאפסת רק בקטע מ-0 עד גבול מסוים, s (ולא עד אינסוף). כלומר הסיכוי ש-X גדול מ-s הוא אפס. כמו קודם, במעטפות נמצאים הסכומים X ו-2X. אם הסכום Y שאנחנו מוצאים במעטפה קטן מ-s, אז X יכול להיות Y או Y/2, ושני המקרים סבירים באותה מידה. במקרה כזה כדאי להחליף. לעומת זאת, אם מצאנו Y גדול מ-s, לא ייתכן ש-X=Y (משום ש- X מוגבל לתחום מ-0 עד s), לכן X=Y/2 הוא הסכום שבמעטפה השנייה, ואז לא נחליף.

השוואת האלטרנטיבות

אפשר לסמן ב-Y את תכולת המעטפה הראשונה, כפי שעשינו לעיל, וב- Z את תכולת המעטפה השנייה. הקשר בין Y ו-Z הדוק למדי: אחד מהם שווה לערך X, והשני שווה ל-2X. לאחר שהתגלה הערך של Y, אנחנו נדרשים לבחור בין המעטפה הראשונה (זכייה ב-Y, הידוע בשלב זה), לבין המעטפה השנייה (תוספת של Z-Y, כאשר Y ידוע). אם התוחלת של X סופית, החישוב מראה שהתוחלת של Z-Y שווה לאפס וההחלפה מהווה הימור המאוזן לכאן או לכאן. ישנן גרסאות של הפרדוקס (ראו במיוחד פרדוקס סנט-פטרסבורג) שבהן התוחלת של X אינה סופית, ואז הטור הנדרש לחישוב התוחלת של Z-Y אינו מתכנס בהחלט. אף ש- $\ (Y-Z)+(Z-Y)=0$, אפשר לתכנן את ההתפלגות כך שהתוחלות של Y-Z ושל Z-Y תתבדרנה שתיהן לאינסוף, וכך יראה שכל מעטפה עדיפה על חברתה. השגיאה כאן נעוצה בהנחה שאפשר להכריע בין אלטרנטיבות על-פי השוואת תוחלות, גם כאשר אלו אינן מוגדרות היטב.

בעיה דומה

יש בעיית החלפה דומה, שבה התוצאה מפתיעה גם אם אינה פרדוקסלית.

בשתי מעטפות יש סכום כסף חיובי כלשהו (שני הסכומים שונים). משתתף, שאיננו יודע מה הסכומים, מקבל את אחת המעטפות באופן אקראי ואחיד (הסתברות 50% לכל מעטפה). הוא מסתכל במעטפה ולאחר מכן מחליט האם להחליף את המעטפות ולקבל את הסכום במעטפה השנייה, או להישאר עם הסכום שלו. האם המשתתף יכול לגרום לכך שיקבל את הסכום הגבוה יותר בהסתברות גבוהה ממש מ-50%?

התשובה המפתיעה היא "כן". אף על פי שלמשתתף אין שום מידע מעבר לסכום שבידו, הוא יכול לעשות זאת. הדרך היא כדלקמן:

הוא מגריל מספר ממשי כלשהו (דרך ההגרלה איננה חשובה כל עוד לכל אינטרוול יש הסתברות חיובית). אם המספר שיצא קטן מהסכום שבידו, הוא משאיר אותו, אחרת מחליף.
הסיבה שזה עובד היא: נסמן את הסכום במעטפה הגדולה ב-X, בקטנה ב-Y, ואת המספר שהוגרל ב-R. כעת,

• אם R<Y, המשתתף בכל מקרה יישאר עם הסכום שלו, ולכן ינצח אם ורק אם הוא קיבל בהתחלה את המעטפה עם ה-X (הסתברות 50%).
• אם R>X, המשתתף בכל מקרה יחליף את המעטפות, ולכן ינצח אם ורק אם הוא קיבל בהתחלה את המעטפה עם ה-Y (הסתברות 50%).
• אם X>R>Y, המשתתף יסיים עם X בכל מקרה.

בסך הכול אפשר לראות שההסתברות שהמשתתף ינצח גדולה מ-50% כרצוי.

ראו גם

• בעיית מונטי הול
• בעיית היפהפייה הנרדמת

קישורים חיצוניים

• מריוס כהן, מגזין "גלילאו", פרדוקס שתי המעטפות: איזו רווחית יותר?, באתר ynet, 15 באוקטובר 2007
• גדי אלכסנדרוביץ', פרדוקס המעטפות, באתר "לא מדויק", 25 ביולי 2008
• יוסי לוי, מעטפת מזומנים מחליפה ידיים בחדר אפל, באתר "נסיכת המדעים"