פרקטל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Incomplete-document-purple.svg יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.
משולש שרפינסקי הוא פרקטל. ממד האוסדורף שלו הוא ln 3 / ln 2, שהוא בקירוב 1.58
עץ פיתגורס הוא פרקטל. ממד האוסדורף שלו הוא 2

פְרַקטָל הוא צורה גאומטרית שמורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה בכל רמת פירוט שנסתכל בה. לא חשוב כמה נתבונן אל תוך חלקיו של הפרקטל, תמיד נמצא בו חלקים הדומים לצורתו המקורית, כך שפרט קטן בצורה, דומה לצורת המקור כולה. לדוגמה משולש שרפינסקי המופיע באיור, מורכב משלושה העתקים מוקטנים של עצמו, וככל שמגדילים אותו כך מוצאים בתוכו עוד ועוד עותקים שלו. לפרקטלים תכונות מתמטיות לא שגרתיות: הממדים שלהם אינם בהכרח שלמים, ההיקף של פרקטל בעל שטח סופי יכול להיות אינסופי, ועוד. ניתן למצוא מבנים דמויי פרקטלים רבים בטבע כגון במבנה עורקיו של עלה, כרובית, כלי הדם בגוף, צורת קו חוף (ראו פרדוקס קו החוף), צורת כפור או פתית שלג (ראו פתית השלג של קוך), בכולם ניתן לרדת לפרטים הקטנים ולהרגיש כאילו אנו מתבוננים עדיין בתמונה השלמה.

לפרקטלים יש שימוש רב בגרפיקה ממוחשבת מכיוון שהם מאפשרים ליצור באמצעות נוסחאות מתמטיות פשוטות תמונות הנראות כמו הרים, עצמים וכו'. כמו כן לפרקטלים תפקיד חשוב בפיזיקה ובמיוחד בתורת הכאוס.

דוגמאות לפרקטלים[עריכת קוד מקור | עריכה]

פרקטלים נוצרים על-פי רוב בשיטות המבוססות על רקורסיה: כלומר על חזרה על אותה פעולה מספר רב (בגבול מספר אין-סופי) של פעמים. לדוגמה ניתן ליצור את משולש סרפינסקי באופן הבא: מתחילים ממשולש שווה-צלעות, וחותכים ממנו את המשולש המרכזי, כמו שנראה באיור. עתה נוצרו שלושה משולשים מלאים קטנים, ובשלב הבא לכל אחד מהם חותכים את המשולש האמצעי. כל שלב נקרא איטרציה ולאחר אין-סוף איטרציות נוצר משולש סרפינסקי.

יצירת משולש סרפינסקי באופן איטרטבי

דוגמה נוספת היא בניית פתית השלג של קוך. בבנייה מתחילים מקו אחד, ובכל איטרציה מחליפים את החלק האמצעי בקו, בשני קווים היוצרים פינה. ארבע האיטרציות הראשונות מתוארות באיור:

בניה של קטע מפתית השלג של קוך

עוד שיטה ליצירת פרקטלים נקראת שיטת מכונת הצילום, בשיטה זאת מזינים תמונה כלשהי לתוך מכונת צילום, והמכונה מדפיסה על אותו דף שלושה עותקים מוקטנים של התמונה המקורית. עתה את התמונה המתקבלת מחזירים כקלט לתוך המכונה, וחוזרים על הפעולה הזאת אין סוף פעמים.

יצירת פרקטל בשיטת מכונת הצילום

הפרקטל שנראה בתמונה הזאת דומה מאוד לעלה.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפרקטלים הראשונים החלו להתגלות החל מסוף המאה ה-19, ונחקרו בתור קוריוזים מתמטיים, או דוגמאות נגד לרעיונות שונים. בשנת 1872 מצא המתמטיקאי קארל ויירשטראס פונקציה שהיא רציפה בכל נקודה, אך אין נקודה שהיא גזירה בה, הנקראת פונקציית ויירשטראס על שמו. במושגי ימינו פונקציה זו היא פרקטל. בשנת 1904 יצר המתמטיקאי השבדי הֶלגֵה פון קוך את פתית השלג של קוך, צורה פרקטלית מובהקת.

גאורג קנטור נתן דוגמה נוספת לקבוצה בעלת אופי פרקטלי, קבוצת קנטור. בניסיון להבין את משמעותם של עצמים מסוג זה, מתמטיקאים כקונסטנטין קרתיאודורי ופליקס האוסדורף הכלילו את מושג הממד, כך שיוכל לקבל גם ערכים שאינם מספרים טבעיים (ראו ממד האוסדורף). תנופה משמעותית לחקר הפרקטלים ניתנה בתחילת שנות השישים על ידי המתמטיקאי האמריקאי בנואה מנדלברוט, שעבד במעבדות המחקר של IBM, והתבסס על עבודתו של המתמטיקאי בן זמנו גסטון ג'וליה. בשנת 1975 טבע מנדלברוט את המונח "פרקטל" לציון עצמים הדומים לעצמם. מנדלברוט חקר סדרות של מספרים מרוכבים מהצורה \ z_{n+1}=z_n^2+z_0. קבוצת מנדלברוט, הקרויה על-שמו, כוללת את המספרים \ z_0 שעבורם הסדרה \ \{z_n\} חסומה.

ממדים שבריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדוגמאות שהובאו קודם לכן ניתן לקבל תחושה מדוע יש בעיה להגדיר מהו הממד של פרקטל. לדוגמה, בבנייה של משולש סרפינסקי התחלנו ממשולשים מלאים שהם צורות דו-ממדיות ולכן ניתן לצפות שמשולש סרפינסקי הוא דו-ממדי. מצד שני אם היינו משרטטים רק את קווי המתאר של המשולשים, היינו מקבלים את אותה תוצאה סופית בדיוק, אלא שבמקרה זה הבנייה הייתה מסתמכת על קווים בלבד ולכן ניתן היה לצפות שמשולש סרפינסקי הינו חד-ממדי.

שמונת הצעדים הראשונים בבנייה של עקומת הילברט. למרות שהעקומה בנויה מקווים היא ממלאת ריבוע שלם, האם היא חד-ממדית או דו-ממדית?

בשיטת הבנייה של פתית השלג של קוך, ניתן ליצור פרקטלים כגון עקומת הילברט ועקום פאנו, שממלאים ריבוע שלם. מכיוון שהבנייה כולה מתבססת על קווים, היינו מצפים שהתוצאה תהיה חד-ממדית, איך ייתכן שמקבלים צורה דו-ממדית?

כדי להחיל את מושג הממד על צורות פרקטליות היה צורך לתת הגדרות מדויקות יותר למושג הממד, שניתן יהיה להשתמש בהם גם עבור פרקטלים.

ממד האוסדורף[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – ממד האוסדורף

לפי תפיסת הממד הקלאסית, כאשר שרטוט עובר קינום, חלקים בעלי N ממדים בו גדלים ביחס ישר ליחס הקינום בחזקת N. למשל, כאשר מגדילים קו חד-ממדי פי שלושה, הוא גדל פי שלושה או פי 3 בחזקת גודל הממד - 1. לעומת זאת, ישות דו-ממדית כמו ריבוע כאשר מגדילים את אורכה של הצלע פי שלושה, שטחו של הריבוע, יגדל פי תשעה או פי 3 בחזקת גודל הממד - 2. קו פרקטלי, ככל שנגדיל אותו תגלה העין, שקו שהיה נראה ישר קודם למעשה מפותל. פתית השלג של קוך כאשר מגדילים אותו פי שלושה מגלים שצלע שאמורה לגדול פי שלושה גדלה פי ארבעה, לכן הממד שלו הוא:  \frac{\log{4}}{\log{3}}\approx 1.262 .

דרכים לבניית פרקטלים[עריכת קוד מקור | עריכה]

שיטת מכונת הצילום[עריכת קוד מקור | עריכה]

שיטה זאת נקראת גם "IFS-Iterated Function Systems". המהות של שיטה זאת היא לבצע פעולה על המישור, לדוגמה לקחת את המישור ולהכין ממנו שלושה עותקים מוקטנים ולהדביק אותם יחד, ואחר כך לחזור על הפעולה פעמים רבות. הפרקטל שמתקבל הוא נקודת השבת של הפונקציה.

שיטות החלפה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בשיטות אלו, כמו ב"פתית השלג של קוך" לדוגמה, מתחילים מצורה גאומטרית פשוטה ובכל שלב מסבכים אותה מעט. כאשר חוזרים על הפעולה אין-סוף פעמים מתקבל הפרקטל. דוגמה נוספת היא "עץ פיתגורס". שיטת ההחלפה יכולה ליצור גם פרקטלים אקראיים. לדוגמה בפתית השלג של קוך, בכל החלפה ניתן להניח את המשולש באחד משני צדי הקו. אם במקום להניח את המשולש תמיד מעל הקו, מניחים אותו באופן אקראי למעלה או למטה אזי מתקבל פרקטל אקראי.

משחק הכאוס[עריכת קוד מקור | עריכה]

משחק המתבצע באופן הבא: בוחרים שלוש נקודות קבועות במישור המסומנות A,B,C. כמו כן בוחרים נקודה כלשהי אחרת במישור, כנקודת התחלה במשחק. בכל שלב במשחק מגרילים את אחת משלוש הנקודות הקבועות, ומניחים את הנקודה הבאה בחצי המרחק שבין הנקודה בה אנו נמצאים לנקודה הקבועה שנבחרה. התוצאה של המשחק היא נקודות היוצרות את משולש סרפינסקי, כאשר הוא מתוח בין שלוש הנקודות הקבועות. בעזרת חוקים דומים ניתן ליצור מגוון עצום של פרקטלים נוספים.

אוטומט תאי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוטומטים תאיים רבים יכולים ליצור פרקטלים. הדוגמה המוכרת ביותר היא כאשר לוקחים את משולש פסקל, שאותו ניתן לראות כאוטומט תאי חד-ממדי, וצובעים את המספרים האי-זוגיים בשחור, והזוגיים בלבן. התוצאה המתקבלת היא משולש סרפינסקי.

פרקטלים מרקורסיה של נוסחאות מרוכבות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כגון קבוצת מנדלברוט ,קבוצת ג'וליה, פרקטל ניוטון ופרקטל נובה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • נחמן גבעולי, "טבעו המתמטי של הטבע - בעקבות הפראקטלים של ד"ר בנואה מנדלברוט", מחשבות, דצמבר 1979.
  • פיל לפלנט, פרקטלמניה, הוצאת אופוס, 1995.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]