ייצוג גאומטרי במישור גאוס של
z
{\displaystyle z}
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
z
{\displaystyle z}
במתמטיקה , הצמוד המורכב של מספר מרוכב הוא המספר עם רכיב ממשי שווה ורכיב מדומה שווה בגודלו אך מנוגד בסימנו. כלומר, אם
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
z
¯
=
z
∗
=
a
−
b
i
{\displaystyle {\overline {z}}=z^{*}=a-bi}
בייצוג קוטבי , ניתן להראות באמצעות נוסחת אוילר שאם
r
{\displaystyle r}
φ
{\displaystyle \varphi }
r
e
i
φ
{\displaystyle re^{i\varphi }}
r
e
−
i
φ
{\displaystyle re^{-i\varphi }}
המכפלה של מספר מרוכב והצמוד שלו היא מספר ממשי:
a
2
+
b
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}}
r
2
{\displaystyle r^{2}}
קואורדינטות קוטביות ).
הצמוד המורכב של מספר מרוכב
z
{\displaystyle z}
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
קו מחבר , דומה לסימון למטריצה צמודה , שהיא מעין הכללה של הצמוד המרוכב למטריצות . הסימון השני, כוכבית , מועדף בפיזיקה , שם המטריצה הצמודה מסומנת בדקר (†), וכן בהנדסת חשמל והנדסת מחשבים , בהן סימון הקו המחבר עלול לבלבל עם סימון השלילה הלוגית ("NOT") באלגברה בוליאנית .
אם מספר מרוכב מיוצג כמטריצה מסדר
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
מטריצה המשוחלפת .
התכונות הבאות מתקיימות לכל המספרים המרוכבים
z
{\displaystyle z}
w
{\displaystyle w}
z
{\displaystyle z}
w
{\displaystyle w}
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
הצמוד שומר על חיבור , חיסור , כפל וחילוק :
z
+
w
¯
=
z
¯
+
w
¯
{\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}}
z
−
w
¯
=
z
¯
−
w
¯
{\displaystyle {\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}}
z
w
¯
=
z
¯
⋅
w
¯
{\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}}
(
z
w
)
¯
=
z
¯
w
¯
(
w
≠
0
)
{\displaystyle {\overline {({\frac {z}{w}})}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}(w\neq 0)}
מספר מרוכב שווה לצמוד המורכב שלו אם ורק אם הרכיב המדומה שלו הוא אפס , כלומר אם הוא מספר ממשי . במילים אחרות, המספרים הממשיים הם נקודות השבת היחידות של הצמוד.
הצמוד אינו משנה את הערך המוחלט של מספר מרוכב:
|
z
¯
|
=
|
z
|
{\displaystyle |{\overline {z}}|=|z|}
הצמוד הוא אינוולוציה , כלומר צמוד של צמוד של מספר מרוכב
z
{\displaystyle z}
z
{\displaystyle z}
z
¯
¯
=
z
{\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}
מכפלה של מספר מרוכב עם הצמוד שלו שווה לריבוע הערך המוחלט שלו:
z
z
¯
=
|
z
|
2
{\textstyle z{\overline {z}}=|z|^{2}}
תכונה זו מאפשרת חישוב קל של ההופכי הכפלי של מספר מרוכב:
z
−
1
=
z
¯
|
z
|
2
{\textstyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{|z|}^{2}}}}
z
≠
0
{\textstyle z\neq 0}
הצמוד הוא קומוטטיבי כבסיס לחזקה שלמה ועם פונקציות האקספוננט והלוגריתם הטבעי :
z
n
¯
=
(
z
¯
)
n
,
n
∈
Z
{\displaystyle {\overline {z^{n}}}=({\overline {z}})^{n},n\in \mathbb {Z} }
exp
(
z
)
¯
=
exp
(
z
¯
)
{\displaystyle {\overline {\exp(z)}}=\exp({\overline {z}})}
ln
(
z
)
¯
=
ln
(
z
¯
)
{\displaystyle {\overline {\ln(z)}}=\ln({\overline {z}})}
z
{\textstyle z}
מספר שלילי ממשי.
אם שורש של פולינום במשתנה אחד עם מקדמים ממשיים הוא מרוכב, אז גם הצמוד המרוכב שלו הוא שורש של הפולינום . כלומר אם
p
{\displaystyle p}
p
(
z
)
=
0
{\displaystyle p(z)=0}
p
(
z
¯
)
=
0
{\displaystyle p({\overline {z}})=0}
(אנ' ) .
באופן כללי, אם
φ
{\displaystyle \varphi }
פונקציה הולומורפית שהצמצום שלה למספרים הממשיים היא בעלת ערך ממשי, ו-
φ
(
z
)
{\displaystyle \varphi (z)}
φ
(
z
¯
)
{\displaystyle \varphi ({\overline {z}})}
φ
(
z
¯
)
=
φ
(
z
)
¯
{\textstyle \varphi ({\overline {z}})={\overline {\varphi (z)}}}
המפה (אנ' )
σ
(
z
)
=
z
¯
{\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
הומיאומורפיזם (שבו הטופולוגיה על
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
(אנ' ) , אם לוקחים בחשבון את
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
מרחב וקטורי מרוכב מעל עצמו. המפה היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל ותואמת את הפעולות האריתמטיות, ומכאן שהוא אוטומורפיזם שדה . מכיוון שהיא שומרת על המספרים הממשיים קבועים, הוא מרכיב בחבורת גלואה של הרחבת השדה
C
/
R
{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }
איברים ,
σ
{\displaystyle \sigma }
הזהות על
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
כשנתון מספר מרוכב
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
z
=
r
e
i
θ
{\displaystyle z=re^{i\theta }}
רכיב ממשי:
x
=
Re
(
z
)
=
z
+
z
¯
2
{\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}
רכיב מדומה:
y
=
Im
(
z
)
=
z
−
z
¯
2
i
{\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}
מודולוס (ערך מוחלט ):
r
=
|
z
|
=
z
z
¯
{\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}
ארגומנט :
e
i
θ
=
e
i
arg
z
=
z
z
¯
,
{\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},}
θ
=
arg
z
=
1
i
ln
z
z
¯
=
ln
z
−
ln
z
¯
2
i
{\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}
הצמוד מסייע גם לבצע חילוק מספרים מרוכבים, ולכל
z
=
a
+
b
i
,
w
=
c
+
d
i
≠
0
{\displaystyle z=a+bi,w=c+di\neq 0}
w
z
=
w
⋅
z
¯
z
⋅
z
¯
=
w
⋅
z
¯
|
z
|
2
{\displaystyle {\frac {w}{z}}={\frac {w\cdot {\bar {z}}}{z\cdot {\bar {z}}}}={\frac {w\cdot {\bar {z}}}{|z|^{2}}}}
a
+
b
i
c
+
d
i
=
(
a
+
b
i
)
⋅
(
c
−
d
i
)
(
c
+
d
i
)
⋅
(
c
−
d
i
)
=
(
a
+
b
i
)
⋅
(
c
−
d
i
)
|
c
+
d
i
|
2
=
a
c
+
b
d
c
2
+
d
2
+
b
c
−
a
d
c
2
+
d
2
i
{\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)\cdot (c-di)}{(c+di)\cdot (c-di)}}={\frac {(a+bi)\cdot (c-di)}{|c+di|^{2}}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i}
בנוסף, ניתן להשתמש ב-
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
ישרים במישור : הקבוצה
{
z
:
z
r
¯
+
z
¯
r
=
0
}
{\displaystyle \{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\}}
ראשית הצירים המאונך ל-
r
{\displaystyle r}
z
⋅
r
¯
{\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}
קוסינוס הזווית בין
z
{\displaystyle z}
r
{\displaystyle r}
u
=
e
i
b
{\displaystyle u=e^{ib}}
z
−
z
0
z
¯
−
z
0
¯
=
u
2
{\textstyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
מקביל לישר דרך הראשית ו-
u
{\displaystyle u}
שימושים אלה בצמוד של
z
{\displaystyle z}
ספרו של פרנק מורלי (אנ' ) Inversive Geometry מ-1933, שנכתב עם בנו פרנק ויגור מורלי.
עבור מטריצות של מספרים מרוכבים,
A
B
¯
=
(
A
¯
)
(
B
¯
)
{\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=({\overline {\mathbf {A} }})({\overline {\mathbf {B} }})}
A
¯
{\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
מטריצה צמודה של מטריצות מרוכבות היא הכללה של הצמוד המרוכב. כללי עוד יותר הוא הרעיון של אופרטור צמוד לאופרטורים במרחבי הילברט מרוכבים. כל אלו נכללים בפעולות הכוכב של אלגברות סי כוכב .
אפשר גם להגדיר צמוד גם לקווטרניונים : הצמוד של
a
+
b
i
+
c
j
+
d
k
{\textstyle a+bi+cj+dk}
a
−
b
i
−
c
j
−
d
k
{\textstyle a-bi-cj-dk}
קיים גם מושג מופשט של הצמוד למרחב וקטורי
V
{\textstyle V}
המספרים המרוכבים . בהקשר זה, כל מפה אנטי-ליניארית
φ
:
V
→
V
{\textstyle \varphi :V\to V}
φ
2
=
id
V
{\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}}
φ
2
=
φ
∘
φ
{\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi }
id
V
{\displaystyle \operatorname {id} _{V}}
מפת הזהות על
V
{\displaystyle V}
φ
(
z
v
)
=
z
¯
φ
(
v
)
{\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)}
v
∈
V
,
z
∈
C
{\displaystyle v\in V,z\in \mathbb {C} }
φ
(
v
1
+
v
2
)
=
φ
(
v
1
)
+
φ
(
v
2
)
{\displaystyle \varphi (v_{1}+v_{2})=\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2})}
v
1
,
v
2
∈
V
{\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}
נקראת הצמדה מרוכבת. מכיוון שהאינוולוציה
φ
{\displaystyle \varphi }
V
{\displaystyle V}
