קבוע אוילר-מסקרוני

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
השטח הכחול הכלוא בין גרף של 1/\lfloor x\rfloor לגרף של 1/x בקטע מ-1 עד אינסוף שווה לקבוע אוילר מסקרוני.
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

Disambig RTL.svg המונח "קבוע אוילר" מפנה לכאן. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו מספר אוילר.

קבוע אוילר, הידוע גם כקבוע אוילר-מסקרוני או כקבוע מסקרוני הוא קבוע מתמטי, שהשימוש העיקרי שלו הוא בתורת המספרים, המסומן באות גמא (\,\gamma) ומוגדר על ידי הגבול:

\gamma=\lim_{n\to\infty} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n

כלומר קבוע אוילר הוא ההפרש האסימפטוטי בין הטור ההרמוני ללוגריתם הטבעי. הפרש זה מתכנס באופן טבעי מכיוון ש-\ln n = \int_1^n \frac{1}{x}\,dx ולכן סכום \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} הוא מן "גרסה בדידה" של הלוגוריתם הטבעי. מכאן נובעת דרך תיאור נוספת של הקבוע: \int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx, כאשר \lfloor x\rfloor הוא הערך השלם של x.

ערכו של הקבוע הוא בקירוב: \,\gamma=0.577215664901532860\ldots. עדיין לא ידוע אם קבוע אוילר רציונלי או אי רציונלי.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקבוע הוגדר לראשונה על ידי המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר במאמרו "De Progressionibus harmonicus observationes" אשר פורסם בשנת 1735. אוילר השתמש בסימון C עבור הקבוע, וחישב בראשונה את ערכו בדיוק של 6 ספרות אחרי הנקודה. בשנת 1761 הוא הרחיב את החישוב, ופרסם אותו בדיוק של 16 ספרות אחרי הנקודה. בשנת 1790, הציע המתמטיקאי האיטלקי לורנצו מסקרוני את סימון הקבוע באות \,\gamma (גמא היוונית), וניסה להרחיב את ערכו של הקבוע עד ל-32 ספרות אחרי הנקודה, אם כי חישובים מאוחרים יותר גילו כי מסקרוני שגה בחישוב הספרה ה-20 אחרי הנקודה.

כפי שנאמר, לא ידוע האם קבוע אוילר הוא מספר רציונלי או לא. עם זאת, ניתוח שבר משולב מראה כי אם קבוע אוילר הוא רציונלי, הרי שהמכנה בשבר המגדיר אותו הוא בעל יותר מ-10^{242080} ספרות.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לקבל את ערכו של הקבוע גם על פי האינטגרלים הבאים:

\gamma = - \int_0^\infty { e^{-x} \ln(x) }\,dx
 = - \int_0^1 { \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx
 = \int_0^\infty {\left (\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right )e^{-x} }\,dx
 = \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx.

אינטגרלים אחרים אשר מכילים את ערך  \gamma הם:

 \int_0^\infty { e^{-x^2} \ln(x) }\,dx = -1/4(\gamma+2 \ln2) \sqrt{\pi}
 \int_0^\infty { e^{-x} (\ln(x))^2 }\,dx = \gamma^2 +1/6 \pi^2 .

ניתן לבטא את קבוע אוילר גם בעזרת אינטגרל כפול:

 \gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy.

בדומה האינטגרל הכפול הבא שהוצג על ידי ג'. סונדאו (2005):

 \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy.

מראה כי ניתן להסתכל על \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) בתור "קבוע אוילר חילופי".

בשנת 1910, הציג ואקה את הסכום הבא:

 \gamma = \sum_{m=1}^\infty (-1)^m \frac{ \left \lfloor \log_2 m \right \rfloor}{m}

כאשר  \log_2 הוא הלוגריתם בבסיס 2 ו- \left \lfloor \, \right \rfloor היא פונקציית הערך השלם.

ניתן לקבל את סדרתו של ואקה על ידי מניפולציה של אינטגרל Catalan.

 \gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx.

קשרים לפונקציות מיוחדות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לבטא את קבוע אוילר גם כטור אינסופי של איברים הכוללים ערכים של פונקציית זטא של רימן של מספרים שלמים וחיוביים:

\gamma = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m}
= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)}.

סדרות נוספות הקשורות לפונקציית זטא של רימן:

 \gamma = \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1]
 = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ]
 = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ].

כמו כן, ניתן לבטא את הקבוע על ידי פונקציית בטא (במונחים של פונקציות גמא):

 \gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ].

שני גבולות השווים בערכם לקבוע אוילר-מסקרוני הם הגבול האנטי-סימטרי:

 \gamma = \lim_{s \to 1} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right )

והגבול

 \gamma = \lim_{x \to \infty} \left [ x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right ) \right ] = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^{n=1} \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right)

סדרת זטא הרציונלית היא ביטוי קשור מאוד לנוסחה שהוצגה לעיל. אם נסיר מספר איברים מהסדרה לעיל, ניתן לקבל הערכה לגבול סדרה הקלאסי:

\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) - 
\sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}

כאשר \zeta(s,k)^{}_{} היא פונקציית הורביץ-זטא. הסכום במשוואה זה מערב מספרים הרמוניים, המסומנים ב-\,H_n. הרחבת מספר איברים בפונקציית הורביץ-זטא מביא אותנו למשוואה:


H_n = \ln n + \gamma + \frac {1} {2n} - \frac {1} {12n^2} + \frac {1} {120n^4} - \varepsilon , כאשר 0 < \varepsilon < \frac {1} {252n^6}.

לבסוף, ניתן לחשב את הקבוע כנגזרת של פונקציית גמא של אוילר:

\gamma = -\Gamma'(1)^{}_{}.

e בחזקת γ[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקבוע \,e^\gamma נחשב גם הוא לקבוע חשוב בתורת המספרים. מדי פעם, מסמנים קבוע זה גם ב\ \gamma' ומבטאים אותו בעזרת הגבול הבא, כאשר pn הוא המספר הראשוני ה-n-י:


e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\ln p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1}

אשר מהווה ניסוח מחודש לשלישי מבין משפטי מרטן. הערך המספרי של \,e^\gamma הוא:

e^\gamma =1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\dots

מכפלות אינסופיות נוספות הקשורות לערך של קבוע זה הן:

 \frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n
 \frac{e^{3+2\gamma}}{2\, \pi} = \prod_{n=1}^\infty e^{-2+2/n}\,\left (1+\frac{2}{n} \right )^n.

שתי המכפלות הללו נובעות פונקציית G של בארנס. כמו כן:

 e^{\gamma} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/4} \cdots

שהוצג על ידי ג'ונתן סונדאו על ידי שימוש בפונקציות היפר-גאומטריות.

מופעים[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוע אוילר-מסקרוני מופיע, בנוסף למקומות אחרים, גם ב:

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Euler's constant: Euler's Work and Modern Developements, Jeffery C. Lagarias, Bulleting of the AMS, 50(4), 527--628, (2013).