קבוע גאוס

ערך זה עוסק בקבוע מתמטי. אם התכוונתם לקבוע פיזיקלי מתחום האסטרונומיה, ראו קבוע הכבידה של גאוס.

במתמטיקה, קבוע גאוס (מצוין באות G) מוגדר כהופכי של הממוצע האריתמטי-גאומטרי של 1 והשורש הריבועי של 2:

$G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})} = 0.8346268\dots.$

הקבוע נקרא על שמו של קרל פרידריך גאוס, אשר גילה ב-30 במאי 1799 כי:

$G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}$

כך שמתקיים:

$G = \frac{1}{2\pi}\beta( \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2})$

כאשר β מציינת את פונקציית בטא.

טרנסצנדנטיות

קבוע גאוס יכול לשמש להצגת פונקציית גמא עבור הארגומנט ¼:

$\Gamma( \tfrac{1}{4}) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } }$

כיוון ש-$\pi$ ו-$\Gamma( \tfrac{1}{4})$ הם בלתי תלויים אלגברית קבוע גאוס הוא מספר טרנסצנדנטי.

ייצוגים אחרים

ניתן להציג את קבוע גאוס באמצעות פונקציית תטא של יעקובי באופן הבא:

$G = \vartheta_{01}^2(e^{-\pi})$

ניתן להציגו גם כסדרה מתכנסת:

$G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^\infty (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.$

וכן כמכפלה אינסופית:

$G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).$

ייצוגים נוספים של קבוע גאוס באמצעות אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות ופונקציות היפרבוליות:

$G = \int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin(x)}dx=\int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos(x)}dx$

${\frac{1}{G}} = \int_0^{\infty}{\frac{dx}{\sqrt{\cosh(\pi x)}}}$

קישורים חיצוניים

• קבוע גאוס, באתר MathWorld (באנגלית)
• קבוע גאוס, באתר האנציקלופדיה המקוונת של סדרות של מספרים שלמים