קבוע מילס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קבוע מילסאנגלית: Mills' constant) הוא קבוע מתמטי, שמוגדר בתור המספר הממשי החיובי הקטן ביותר A שמקיים את התכונה הבאה: לכל n טבעי \ \lfloor A^{3^n}\rfloor ראשוני (כאשר \ \lfloor x\rfloor היא פונקציית הערך השלם). הוא נקרא על שם ויליאם מילס, שהוכיח ב-1947 את משפט מילס הקובע כי קבוע כזה קיים. תוצאה מפתיעה לאור ההתנהגות הלא סדורה של סדרת הראשוניים. לא ידוע ערכו של מספר זה, אבל אם מניחים שהשערת רימן נכונה, אז: A\approx 1.306377883863080690468614492602...[1]. לא ידוע אם המספר רציונלי או אי-רציונלי.

הכללה של משפט מילס קובעת שלכל 2.106<c קיימים אינסוף ערכים A כך ש-\ \lfloor A^{c^n}\rfloor תמיד ראשוני, ושאינסוף זה הוא מעוצמת הרצף.

הראשוניים של מילס[עריכת קוד מקור | עריכה]

המספרים הראשוניים שמתקבלים על ידי הצבת מספר טבעי n בביטוי \ \lfloor A^{3^n}\rfloor, נקראים הראשוניים של מילס. אם נניח את נכונות השערת רימן, המספרים שיתקבלו הם: 2, 11, 1361, 2521008887 וכן הלאה‏[2].

השימוש בקבוע מילס אינו יעיל לשם מציאת ראשוניים גדולים, משום שלשם חישוב חזקות גבוהות שלו יש לדעת את הקבוע בדיוק רב, אולם כדי לחשב את הקבוע נדרשת סדרת ראשוניי מילס עצמה.

משפט מילס[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט מילס הקובע את הקיום של קבוע מילס מסתמך על משפט של אלברט אינגהם משנת 1937 הקובע שקיים קבוע K, כך שלכל זוג ראשוניים עוקבים בסדרת הראשוניים p_n, p_{n+1} מתקיים p_{n+1}<p_n+Kp_n^{5/8}.‏[3]

מהמשפט של אינגהם נובע שאם K^8<N, ו-p_n, p_{n+1} הראשוניים העוקבים המקיימים p_n<N^3<p_{n+1}, אז מתקיים:

N^3<p_{n+1} < p_n+Kp_n^{5/8} < N^3+KN^{15/8} < N^3+N^{1/8}N^{15/8} = N^3+N^2<(N+1)^3-1

כלומר לכל K^8<N קיים ראשוני p כך ש-N^3<p<(N+1)^3-1.

כעת בונים סדרה של ראשוניים \{q_n\} באופן רקורסיבי: בוחרים ראשוני K^8<q_0 להיות האיבר הראשון. ומגדירים את q_{n+1} כראשוני המקיים q_n^3 < q_{n+1} < (q_n+1)^3-1. נקבל סדרה עולה של ראשוניים q_0, q_1, q_2,\ldots. נגדיר שתי סדרות חדשות:

a_n = {q_n}^{3^{-n}}, \ b_n = {(q_n+1)}^{3^{-n}}

קל לראות ש-a_n<b_n, ושמהתנאי q_n^3 < q_{n+1} < (q_n+1)^3-1 נובע ש-a_n עולה ו-b_n יורדת. a_n עולה וחסומה ולכן נוכל להגדיר A = \lim_{n \to \infty} a_n. A מקיים a_n < A < b_n, כלומר  {q_n}^{3^{-n}} < A < {(q_n+1)}^{3^{-n}}. העלאת האי-שוויון בחזקת 3^n נותנת q_n<A^{3^n}<q_n+1, ולכן \ \lfloor A^{3^n}\rfloor = q_n כנדרש.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ערך מדויק יותר של קבוע מילס, אם ההנחה מתקיימת, ניתן למצוא בסדרה A051021 ב-OEIS
  2. ^ ניתן למצוא עוד מספרים בסדרה A051254 באתר OEIS
  3. ^ A. E. Ingham, On the difference between consecutive primes, Quart. J. Math. Oxford 8 (1937), 255-266.