קבוע מתמטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קבוע מתמטי הוא מספר, לרוב מספר ממשי או מספר מרוכב, שמופיע בצורה טבעית בפיתוחים מתמטיים וערכו אינו משתנה. קבועים מתמטיים רבים הם מספרים טרנסצנדנטיים, ויש הטורחים לחשבם בדיוק של אלפי ואף מיליוני ספרות מימין לנקודה. שלא כקבועים הפיזיקליים, הקבועים המתמטיים אינם תלויים במידה שרירותית, אלא הם תוצר טבעי של המערכת המתמטית.

קיימים מספרים רבים בעלי משמעותיות במתמטיקה, אשר עולים בהקשרים שונים. לדוגמה, את הקבוע e ניתן לתאר כיחס $\ f(1)/f(0)$ של פתרון הולומורפי לא טריוויאלי של המשוואה הדיפרנציאלית $\ f'=f$ . הפתרון f הוא פונקציה מחזורית, שהמחזור שלה הוא קבוע מתמטי חשוב אחר: $\ 2\pi i$ .

זהות אוילר, $e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!$ , מקשרת בין חמישה קבועים מתמטיים בסיסיים: המספרים 0 ו-1, e, שהוא בסיס הלוגריתם הטבעי, $\ i$ שהוא יחידה מרוכבת (מספר מרוכב המקיים את השוויון $i^2 = -1 \,\!$ ) והקבוע פאי ( $\ \pi$ , היחס הקבוע בין היקף מעגל לבין קוטרו).

קיימים קבועים רבים אחרים, שחלקם מופיעים בהקשרים מעטים יחסית. לדוגמה, לקבוע אפרי, השווה לערך $\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202\dots$ של פונקציית זטא של רימן, אין חשיבות רבה בפני עצמו, אך הוא היווה אתגר מסקרן במשך שנים: האם מספר זה הוא רציונלי? (ב-1978 הוכיח רוז'ה אפרי שהתשובה שלילית).