קבוצה חסומה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, תת-קבוצה של מרחב מטרי היא קבוצה חסומה אם כל הנקודות שלה נמצאות במרחק הקטן מקבוע ממשי R כלשהו מנקודה כלשהי במרחב; כלומר, הקבוצה מוכלת בכדור. תנאי שקול לזה - הקבוצה חסומה אם המרחק בין כל שתי נקודות בה אינו עולה על קבוע מסוים. באופן דומה מגדירים מרחב סגור כמרחב מטרי שהוא קבוצה חסומה.

הדוגמאות הפשוטות ביותר הן כדורים: כל כדור (סגור או פתוח) הוא קבוצה חסומה.

באופן גס, אפשר לחשוב על קבוצה חסומה כקבוצה 'קטנה'. מדדים עדינים יותר לגודל הם קומפקטיות והדרישה שקבוצה תהיה חסומה כליל. כל קבוצה קומפקטית היא חסומה כליל, וכל קבוצה חסומה כליל היא חסומה. לפי משפט היינה-בורל, במרחב אוקלידי \ \mathbb{R}^n, כל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית.