קבוצת בורל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קבוצת בורל היא קבוצה השייכת לסיגמא-אלגברה של בורל (נקראת גם: אלגברת בורל). הסיגמא-אלגברה של בורל היא הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הקטעים הפתוחים בישר הממשי.

במרחב טופולוגי כללי X מקובל להגדיר את אלגברת בורל באחד מהאופנים הבאים:

באופן כללי, מדובר בשני מבנים שונים, אך הם מזדהים במרחב מטרי ספרבילי שהוא קומפקטי מקומי.

על הישר הממשי הגדרות אלו שקולות לכך שאלגברת בורל היא זו הנוצרת על ידי הקטעים. אלגברת בורל מכילה אינספור סוגי קבוצות, שאת רובן איננו יכולים לתאר, אך היא מכילה גם את סוגי הקבוצות הבסיסיים:

  • כל קבוצה פתוחה היא קבוצת בורל.
  • כל קבוצה סגורה היא קבוצת בורל (סגירות תחת משלים).
  • כל קטע (פתוח, סגור וכו') הוא קבוצת בורל.
  • כל איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות ( \ F_{\sigma}) הוא קבוצת בורל.
  • כל חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות ( \ G_{\delta}) הוא קבוצת בורל.
  • כל איחוד או חיתוך בן-מנייה של הקבוצות לעיל גם הוא קבוצת בורל.

ניתן גם להגדיר את קבוצות בורל בישר באופן קונסטרוקטיבי באמצעות אינדוקציה טרנספיניטית. מגדירים את B_0 כקבוצת כל הקבוצות שהן פתוחות או סגורות. לכל סודר עוקב \alpha+1 מגדירים את B_{\alpha+1} כקבוצת כל האיחודים בני המנייה של איברי B_\alpha, או משלימים של איחודים כאלה. לכל סודר גבולי \gamma מגדירים B_{\gamma} = \bigcup_{\beta<\gamma} B_{\beta}. אלגברת בורל היא הקבוצה B_{\omega_1}, כאשר  \omega_1 הוא הסודר הקטן ביותר שאינו בן מנייה.‏[1]

כל קבוצת בורל היא קבוצה מדידה לפי מידת לבג (משמע אפשר להתאים לה "אורך"). מידת לבג כשהיא מצומצמת לאלגברת בורל נקראת מידת בורל.

מהבנייה הקונסטרוקטיבית של קבוצות בורל נובע שיש \aleph (עוצמת הרצף) קבוצות בורל. הרבה פחות מאשר הקבוצות המדידות לבג, הכוללות את קבוצות בורל, ומהן יש 2^{\aleph}.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]