קבוצת שבת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות, קבוצת שבת היא קבוצה הנחתכת עם כל קבוצה סגורה ולא חסומה.

במובנים מסוימים, קבוצות השבת ממלאות תפקיד דומה לקבוצות ממידת לבג חיובית בקטע [0,1], כאשר הקבוצות הסגורות והלא חסומות ממלאות בהקשר הזה את התפקיד של הקבוצות ממידה 1.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי \kappa סודר מקופינליות לא בת מנייה (בדרך כלל מניחים כי \kappa מונה סדיר).

קבוצה C \subset \kappa תקרא סגורה, אם לכל \alpha < \kappa

\sup C \cap \alpha = \alpha \Rightarrow \alpha \in C

C תקרא לא חסומה אם \sup C = \kappa.

קבוצה S היא קבוצת שבת או קבוצה סטציונרית אם היא נחתכת עם כל קבוצה סגורה ולא חסומה.

הערות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדרישה על הקופינליות של \kappa נועדה להבטיח כי אוסף הקבוצות הסגורות והלא חסומות יהווה מסנן (לשם הדיוק, יש לאמר כי אוסף הקבוצות שמכילות סל"ח הוא מסנן). בהתאם, אוסף הקבוצות שהן אינן שבת הוא אידאל.

כאשר הקופינליות של \kappa היא בת מנייה, קל למצוא זוג קבוצות סגורות ולא חסומות שחיתוכן ריק (לדוגמה, עבור \kappa = \omega קבוצות המספרים הזוגיים וקבוצת המספרים האי זוגיים שתיהן סגורות ולא חסומות ובעלות חיתוך ריק).

חיתוך של שתי קבוצות שבת יכול להיות ריק - למשל, קבוצת כל הסודרים מקופינליות \omega ב-\omega_2 וקבוצת כל הסודרים מקופינליות \omega_1 ב-\omega_2 הן שתיהן קבוצות שבת וחיתוכן הוא ריק.

למעשה, תוצאה חזקה יותר מתקיימת: רוברט סולוביי הוכיח בשנת 1971 כי כל קבוצת שבת במונה סדיר \kappa ניתנת לפיצול ל-\kappa קבוצות שבת זרות. טענה זו דורשת את אקסיומת הבחירה - במודל של AD, מסנן הקבוצות הסגורות והלא חסומות ב-\omega_1 הוא על-מסנן (כלומר, כל קבוצה שם היא סל"ח או משלימה של סל"ח).

ברור כי לא ניתן לפצל את \kappa ליותר מ-\kappa קבוצות זרות (במובן הזה המשפט של סולביי אופטימלי). שאלה קשה יותר היא האם ניתן לפצל את \kappa ליותר מ-\kappa קבוצות שבת שחיתוך של כל שתים מהן הוא לא קבוצת שבת. במילים אחרות, האם באלגברה הבוליאנית של אוסף כל תתי הקבוצות של \kappa מודולו אידאל הקבוצות שאינן שבת יש אנטי שרשרת בעוצמה גדולה מ-\kappa.

גיטיק ושלח הוכיחו כי לכל מונה גדול או שווה מ-\omega_2 (המונה הלא בן-מנייה השני) קיים אוסף כזה. בכיוון השני שלח הוכיח כי מתיישב, תחת הנחת קיום מונה גדול מתאים (מונה וודין), כי לא קיים אוסף כזה כאשר \kappa = \omega_1.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

למת פודור