קדם סדר

בתורת הקבוצות, קדם-סדר חלקי הוא יחס רפלקסיבי וטרנזיטיבי המוגדר על קבוצה.

בהתאמה מוגדר גם קדם-סדר מלא הוא קדם סדר חלקי שמקיים גם את עקרון ההשוואה (או טוטאליות, באנגלית: totality או completeness), כלומר לכל $x,y \in A$ מתקיים $x \le y$ או $y \le x$.

יחסים מסוג זה מהווים גרעין שממנו מתפתחת התאוריה של יחסים על קבוצות לשני כיוונים מנוגדים: קדם-סדר אנטי-סימטרי הוא יחס סדר, בעוד שקדם-סדר סימטרי הוא יחס שקילות (היחס היחיד השייך לשתי מחלקות אלה גם יחד הוא יחס השוויון).

לדוגמה, יחס החילוק $\ a|b$ בין מספרים שלמים הוא קדם-סדר, אבל אינו סדר (למשל, המספרים 2 ו- 2- מחלקים זה את זה). דוגמה זו ניתן להכליל לכל חוג, והיא שימושית בעיקר בתחומי שלמות.

מתוך קדם סדר אפשר לקבל יחס סדר באופן הבא: מגדירים "$\ a \equiv b$ אם ורק אם $\ a \le b$ וגם $\ b \le a$", ומתקבל יחס שקילות. על מחלקות השקילות של יחס זה אפשר להגדיר את היחס $\ [a]<[b]$ אם ורק אם $\ a \le b$, וזהו יחס סדר. נראה שאכן ההגדרה לא תלויה בבחירת הנציגים של מחלקות השיקלות. אם $b' \in [b] , a' \in [a]$ ואם מתקיים $a \le b$ אז מתקיים גם $a' \le b'$. לפי הגדרת $a' \in [a]$ פירושו $a' \le a$ לפי הגדרת $b' \in [b]$ פירושו $b \le b'$ ולכן אם $\ a < b$" אז מטרנזיטיביות מתקיים $a' \le a \le b \le b'$ כלומר $a' \le b'$ ולכן היחס מוגדר היטב.